Новое решение
en/5.3.13.md
+50 −0
| @@ -0,0 +1,50 @@ | |||
| + | ### Statement | ||
| + | |||
| + | $5.3.13.$ [Insert the problem statement] | ||
| + | |||
| + | ### Solution | ||
| + | |||
| + | Определим коэффициенты теплопроводности газов в смеси обозначим их $\kappa'_{1}$ и $\kappa'_{2}$.Так как газы одноатомные и температуры одинаковые можно считать, что: | ||
| + | |||
| + | $$\kappa\sim \frac{1}{\sigma\cdot \sqrt{\mu}}$$ | ||
| + | |||
| + | Значит после всех преобразований можно получить: | ||
| + | |||
| + | $$\frac{\kappa_{1}}{\kappa_{2}}=\sqrt{\frac{\mu_{2}}{\mu_{1}}}\cdot \frac{r_{2}^2}{r_{1}^2}$$ | ||
| + | |||
| + | Где $r_{1}$ и $r_{2}$ радиусы атомов газа. | ||
| + | |||
| + | $$r_{2}= r_{1}\cdot (\frac{\kappa_{1}}{\kappa_{2}}\cdot \sqrt{\frac{\mu_{1}}{\mu_{2}}})^{\frac{1}{2}}$$ | ||
| + | |||
| + | Концентрации газов в смеси относятся как $$\frac{n_{1}}{n_{2}}=\alpha$$ | ||
| + | |||
| + | Число столкновений молекул газа 1 и газа 2 в смеси: | ||
| + | |||
| + | $$\nu_{1}=4\cdot \pi\cdot r_{1}^{2}\cdot n_{1}\cdot <\upsilon_{кв_{1}}> + \frac{n_{1}}{\alpha}\cdot \pi\cdot (r_{1} + r_{2})^{2}\cdot <\upsilon_{кв_{1}}>$$ | ||
| + | |||
| + | $$\nu_{2}=4\cdot \pi\cdot r_{2}^{2}\cdot n_{2}\cdot <\upsilon_{кв_{2}}> + n_{2}\cdot \alpha\cdot \pi\cdot (r_{1} + r_{2})^{2}\cdot <\upsilon_{кв_{2}}>$$ | ||
| + | |||
| + | Запишем отношения теплопроводностей "до" к "после", после преобразований получим: | ||
| + | |||
| + | $$\frac{\kappa_{1}}{\kappa'_{1}}=\frac{4\cdot \pi\cdot r_{1}^{2}\cdot n_{1} + \frac{n_{1}}{\alpha}\cdot \pi\cdot (r_{1} + r_{2})^{2}}{4\cdot \pi\cdot r_{1}^{2}\cdot n_{1}}$$ | ||
| + | |||
| + | Подставим выражение для $r_{2}$, закончим преобразования и выразим новую теплопроводность газа 1: | ||
| + | |||
| + | $$\kappa'_{1} = \frac{\kappa_{1}}{1 + \frac{1}{4\cdot \alpha}\cdot [1 + (\frac{\kappa_{1}}{\kappa_{2}}\cdot \sqrt{\frac{\mu_{1}}{\mu_{2}}})^\frac{1}{2}]^{2}}$$ | ||
| + | |||
| + | Аналогично для газа 2: | ||
| + | |||
| + | $$\kappa'_{2} = \frac{\kappa_{2}}{1 + \frac{\alpha}{4}\cdot [1 + (\frac{\kappa_{2}}{\kappa_{1}}\cdot \sqrt{\frac{\mu_{2}}{\mu_{1}}})^\frac{1}{2}]^{2}}$$ | ||
| + | |||
| + | Пусть создан градиент температур $\frac{\partial T}{\partial x}$ внутри смеси. Поток тепла через смесь равен: | ||
| + | |||
| + | $$q_{12} = \kappa_{12}\cdot \frac{\partial T}{\partial x}\cdot S = q_{1} + q_{2} = \kappa'_{1}\cdot \frac{\partial T}{\partial x}\cdot S + \kappa'_{2}\cdot \frac{\partial T}{\partial x}\cdot S$$ | ||
| + | |||
| + | Отсюда: | ||
| + | $$\kappa_{12} = \kappa'_{1} + \kappa'_{2}$$ | ||
| + | |||
| + | $$\kappa_{12} = \frac{\kappa_{1}}{1 + \frac{1}{4\cdot \alpha}\cdot [1 + (\frac{\kappa_{1}}{\kappa_{2}}\cdot \sqrt{\frac{\mu_{1}}{\mu_{2}}})^\frac{1}{2}]^{2}} + \frac{\kappa_{2}}{1 + \frac{\alpha}{4}\cdot [1 + (\frac{\kappa_{2}}{\kappa_{1}}\cdot \sqrt{\frac{\mu_{2}}{\mu_{1}}})^\frac{1}{2}]^{2}}$$ | ||
| + | |||
| + | #### Answer | ||
| + | |||
| + | [Insert a concise answer or boxed result] | ||
| @@ -0,0 +1,50 @@ | |||
| ### Statement | |||
| $5.3.13.$ [Insert the problem statement] | |||
| ### Solution | |||
| Определим коэффициенты теплопроводности газов в смеси обозначим их $\kappa'_{1}$ и $\kappa'_{2}$.Так как газы одноатомные и температуры одинаковые можно считать, что: | |||
| $$\kappa\sim \frac{1}{\sigma\cdot \sqrt{\mu}}$$ | |||
| Значит после всех преобразований можно получить: | |||
| $$\frac{\kappa_{1}}{\kappa_{2}}=\sqrt{\frac{\mu_{2}}{\mu_{1}}}\cdot \frac{r_{2}^2}{r_{1}^2}$$ | |||
| Где $r_{1}$ и $r_{2}$ радиусы атомов газа. | |||
| $$r_{2}= r_{1}\cdot (\frac{\kappa_{1}}{\kappa_{2}}\cdot \sqrt{\frac{\mu_{1}}{\mu_{2}}})^{\frac{1}{2}}$$ | |||
| Концентрации газов в смеси относятся как $$\frac{n_{1}}{n_{2}}=\alpha$$ | |||
| Число столкновений молекул газа 1 и газа 2 в смеси: | |||
| $$\nu_{1}=4\cdot \pi\cdot r_{1}^{2}\cdot n_{1}\cdot <\upsilon_{кв_{1}}> + \frac{n_{1}}{\alpha}\cdot \pi\cdot (r_{1} + r_{2})^{2}\cdot <\upsilon_{кв_{1}}>$$ | |||
| $$\nu_{2}=4\cdot \pi\cdot r_{2}^{2}\cdot n_{2}\cdot <\upsilon_{кв_{2}}> + n_{2}\cdot \alpha\cdot \pi\cdot (r_{1} + r_{2})^{2}\cdot <\upsilon_{кв_{2}}>$$ | |||
| Запишем отношения теплопроводностей "до" к "после", после преобразований получим: | |||
| $$\frac{\kappa_{1}}{\kappa'_{1}}=\frac{4\cdot \pi\cdot r_{1}^{2}\cdot n_{1} + \frac{n_{1}}{\alpha}\cdot \pi\cdot (r_{1} + r_{2})^{2}}{4\cdot \pi\cdot r_{1}^{2}\cdot n_{1}}$$ | |||
| Подставим выражение для $r_{2}$, закончим преобразования и выразим новую теплопроводность газа 1: | |||
| $$\kappa'_{1} = \frac{\kappa_{1}}{1 + \frac{1}{4\cdot \alpha}\cdot [1 + (\frac{\kappa_{1}}{\kappa_{2}}\cdot \sqrt{\frac{\mu_{1}}{\mu_{2}}})^\frac{1}{2}]^{2}}$$ | |||
| Аналогично для газа 2: | |||
| $$\kappa'_{2} = \frac{\kappa_{2}}{1 + \frac{\alpha}{4}\cdot [1 + (\frac{\kappa_{2}}{\kappa_{1}}\cdot \sqrt{\frac{\mu_{2}}{\mu_{1}}})^\frac{1}{2}]^{2}}$$ | |||
| Пусть создан градиент температур $\frac{\partial T}{\partial x}$ внутри смеси. Поток тепла через смесь равен: | |||
| $$q_{12} = \kappa_{12}\cdot \frac{\partial T}{\partial x}\cdot S = q_{1} + q_{2} = \kappa'_{1}\cdot \frac{\partial T}{\partial x}\cdot S + \kappa'_{2}\cdot \frac{\partial T}{\partial x}\cdot S$$ | |||
| Отсюда: | |||
| $$\kappa_{12} = \kappa'_{1} + \kappa'_{2}$$ | |||
| $$\kappa_{12} = \frac{\kappa_{1}}{1 + \frac{1}{4\cdot \alpha}\cdot [1 + (\frac{\kappa_{1}}{\kappa_{2}}\cdot \sqrt{\frac{\mu_{1}}{\mu_{2}}})^\frac{1}{2}]^{2}} + \frac{\kappa_{2}}{1 + \frac{\alpha}{4}\cdot [1 + (\frac{\kappa_{2}}{\kappa_{1}}\cdot \sqrt{\frac{\mu_{2}}{\mu_{1}}})^\frac{1}{2}]^{2}}$$ | |||
| #### Answer | |||
| [Insert a concise answer or boxed result] | |||