Решение

Считаем, брусок не двигается. После пережигания нити шары совершают гармонические колебания; силы их пружин меняются гармонически в пределах

$$[-F;F].$$

Отсчитываем время $t$ от пережигания, ось $x$ направим вправо. Со стороны левой пружины на брусок в проекции на $x$ действует сила

$$f_1=F\cos\left(\omega_1t\right),$$

где $\omega_1$ есть угловая частота колебаний шара $m_1$.

Со стороны правой пружины на брусок в проекции на $x$ действует сила

$$f_2=-F\cos\left(\omega_2t\right),$$

где $\omega_2$ есть угловая частота колебаний шара $m_2$.

Условие неподвижности бруска из второго закона Ньютона:

$$\left|f_1+f_2\right|\leqslant\mu\left(M+m_1+m_2\right)g,$$

где $\mu$ есть коэффициент трения между плоскостью и бруском.

Максимальное возможное значение $\left|f_1+f_2\right|$ не может превышать

$$2F.$$

Можно обеспечить минимальный коэф. трения $\mu^*=2F/\left[(M+m_1+m_2)g\right]$, при котором брусок не сможет сдвинуться, но есть особенность в анализе соотношения частот колебаний сил $f_1$ и $f_2$…

Фигуры Лиссажу

При любых ли частотах достигается максимум $2F$ действия на брусок? Поможет фигура Лиссажу.

В системе перпендикулярных осей, где по одной оси откладывается значение $f_1$, а по другой — значение $f_2$ в процессе колебаний удобно вывести критерий достижения максимума $2F$.

Посмотрим на следующий рисунок, где показано начало вырисовывания фигуры Лиссажу для наугад подобранного соотношения частот колебаний $\omega_1:\omega_2=1:\pi$.

Точка, вычерчивающая фигуру Лиссажу в нашей задаче начинает движения из $A\equiv(F,-F)$. Интересующий максимум $2F$ действия будет в точках $B\equiv(-F,-F)$ и $D\equiv(F,F)$. Далее отдельно по этим точкам.

• В точку $B$ фигура приходит, если в общем $f_1$ совершило $p+1/2$ колебаний (где $p$ есть целое число), а $f_2$ совершило $q$ колебаний (где $q$ есть целое число) за одно и то же время. Тогда для частот частот $\nu_1,\nu_2$ сил $f_1,f_2$ можно записать, преобразуя,
  $$\frac{\nu_1}{\nu_2}=\frac{2p+1}{2q}.$$
  Это отношение нечетное к четному. То есть частоты колебаний относятся как нечетное к четному числа.

• В точку $D$ фигура приходит, если в общем $f_1$ совершило $p$ колебаний (где $p$ есть целое число), а $f_2$ совершило $q+1/2$ колебаний (где $q$ есть целое число) за одно и то же время. Тогда для частот частот $\nu_1,\nu_2$ сил $f_1,f_2$ можно записать, преобразуя,
  $$\frac{\nu_1}{\nu_2}=\frac{2p}{2q+1}.$$
  Это отношение четное к нечетному. То есть частоты колебаний относятся как четное к нечетному числа.

Итак, максимум действия $2F$ достигается при соотношении частот как четное к нечетному в общем!

Другие соотношения частот

Проверим другие соотношения частот.

• отношение часо

[продолжение следует]