| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $3.4.11^*.$ Два шарика массы $m_1$ и $m_2$, прикрепленные к одинаковым пружинам, могут колебаться, скользя по бруску массы $M$ без трения. Брусок лежит на горизонтальной плоскости. Шарики связаны нитью, сила натяжения которой $F$. Нить пережигают. При каком наименьшем коэффициенте трения между плоскостью и бруском тот не сдвинется с места? | | $3.4.11^*.$ Два шарика массы $m_1$ и $m_2$, прикрепленные к одинаковым пружинам, могут колебаться, скользя по бруску массы $M$ без трения. Брусок лежит на горизонтальной плоскости. Шарики связаны нитью, сила натяжения которой $F$. Нить пережигают. При каком наименьшем коэффициенте трения между плоскостью и бруском тот не сдвинется с места? |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| Считаем, брусок не двигается. После пережигания нити шары совершают гармонические колебания; силы их пружин меняются гармонически в пределах | | Считаем, брусок не двигается. После пережигания нити шары совершают гармонические колебания; силы их пружин меняются гармонически в пределах |
| | | |
| $$ | | $$ |
| [-F;F]. | | [-F;F]. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Отсчитываем время $t$ от пережигания, ось $x$ направим вправо. Со стороны левой пружины на брусок в проекции на $x$ действует сила | | Отсчитываем время $t$ от пережигания, ось $x$ направим вправо. Со стороны левой пружины на брусок в проекции на $x$ действует сила |
| | | |
| $$ | | $$ |
| f_1=F\cos\left(\omega_1t\right), | | f_1=F\cos\left(\omega_1t\right), |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $\omega_1$ есть угловая частота колебаний шара $m_1$. | | где $\omega_1$ есть угловая частота колебаний шара $m_1$. |
| | | |
| Со стороны правой пружины на брусок в проекции на $x$ действует сила | | Со стороны правой пружины на брусок в проекции на $x$ действует сила |
| | | |
| $$ | | $$ |
| f_2=-F\cos\left(\omega_2t\right), | | f_2=-F\cos\left(\omega_2t\right), |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $\omega_2$ есть угловая частота колебаний шара $m_2$. | | где $\omega_2$ есть угловая частота колебаний шара $m_2$. |
| | | |
| Условие неподвижности бруска из второго закона Ньютона: | | Условие неподвижности бруска из второго закона Ньютона: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \left|f_1+f_2\right|\leqslant\mu\left(M+m_1+m_2\right)g, | | \left|f_1+f_2\right|\leqslant\mu\left(M+m_1+m_2\right)g, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $\mu$ есть коэффициент трения между плоскостью и бруском. | | где $\mu$ есть коэффициент трения между плоскостью и бруском. |
| | | |
| Максимальное возможное значение $\left|f_1+f_2\right|$ не может превышать | | Максимальное возможное значение $\left|f_1+f_2\right|$ не может превышать |
| | | |
| $$ | | $$ |
| 2F. | | 2F. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Можно обеспечить минимальный коэф. трения $\mu^*=2F/\left[(M+m_1+m_2)g\right]$, при котором брусок не сможет сдвинуться, но есть особенность в анализе соотношения частот колебаний сил $f_1$ и $f_2$… | | Можно обеспечить минимальный коэф. трения $\mu^*=2F/\left[(M+m_1+m_2)g\right]$, при котором брусок не сможет сдвинуться, но есть особенность в анализе соотношения частот колебаний сил $f_1$ и $f_2$… |
| | | |
| | | |
| #### Фигуры Лиссажу | | #### Фигуры Лиссажу |
| | | |
| При любых ли частотах достигается максимум $2F$ действия на брусок? Поможет фигура Лиссажу. | | При любых ли частотах достигается максимум $2F$ действия на брусок? Поможет фигура Лиссажу. |
| | | |
| В системе перпендикулярных осей, где по одной оси откладывается значение $f_1$, а по другой — значение $f_2$ в процессе колебаний удобно вывести критерий достижения максимума $2F$. | | В системе перпендикулярных осей, где по одной оси откладывается значение $f_1$, а по другой — значение $f_2$ в процессе колебаний удобно вывести критерий достижения максимума $2F$. |
| | | |
| Посмотрим на следующий рисунок, где показано начало вырисовывания фигуры Лиссажу для наугад подобранного соотношения частот колебаний $\omega_1:\omega_2=1:\pi$. | | Посмотрим на следующий рисунок, где показано начало вырисовывания фигуры Лиссажу для наугад подобранного соотношения частот колебаний $\omega_1:\omega_2=1:\pi$. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Точка, вычерчивающая фигуру Лиссажу в нашей задаче начинает движения из $A\equiv(F,-F)$. Интересующий максимум $2F$ действия будет в точках $B\equiv(-F,-F)$ и $D\equiv(F,F)$. Далее отдельно по этим точкам. | | Точка, вычерчивающая фигуру Лиссажу в нашей задаче начинает движения из $A\equiv(F,-F)$. Интересующий максимум $2F$ действия будет в точках $B\equiv(-F,-F)$ и $D\equiv(F,F)$. Далее отдельно по этим точкам. |
| | | |
| - В точку $B$ фигура приходит, если в общем $f_1$ совершило $p+1/2$ колебаний (где $p$ есть целое число), а $f_2$ совершило $q$ колебаний (где $q$ есть целое число) за одно и то же время. Тогда для частот частот $\nu_1,\nu_2$ сил $f_1,f_2$ можно записать, преобразуя, | | - В точку $B$ фигура приходит, если в общем $f_1$ совершило $p+1/2$ колебаний (где $p$ есть целое число), а $f_2$ совершило $q$ колебаний (где $q$ есть целое число) за одно и то же время. Тогда для частот частот $\nu_1,\nu_2$ сил $f_1,f_2$ можно записать, преобразуя, |
| $$ | | $$ |
| \frac{\nu_1}{\nu_2}=\frac{2p+1}{2q}. | | \frac{\nu_1}{\nu_2}=\frac{2p+1}{2q}. |
| $$ | | $$ |
| Это отношение нечетное к четному. То есть частоты колебаний относятся как нечетное к четному числа. | | Это отношение нечетное к четному. То есть частоты колебаний относятся как нечетное к четному числа. |
| | | |
| - В точку $D$ фигура приходит, если в общем $f_1$ совершило $p$ колебаний (где $p$ есть целое число), а $f_2$ совершило $q+1/2$ колебаний (где $q$ есть целое число) за одно и то же время. Тогда для частот частот $\nu_1,\nu_2$ сил $f_1,f_2$ можно записать, преобразуя, | | - В точку $D$ фигура приходит, если в общем $f_1$ совершило $p$ колебаний (где $p$ есть целое число), а $f_2$ совершило $q+1/2$ колебаний (где $q$ есть целое число) за одно и то же время. Тогда для частот частот $\nu_1,\nu_2$ сил $f_1,f_2$ можно записать, преобразуя, |
| $$ | | $$ |
| \frac{\nu_1}{\nu_2}=\frac{2p}{2q+1}. | | \frac{\nu_1}{\nu_2}=\frac{2p}{2q+1}. |
| $$ | | $$ |
| Это отношение четное к нечетному. То есть частоты колебаний относятся как четное к нечетному числа. | | Это отношение четное к нечетному. То есть частоты колебаний относятся как четное к нечетному числа. |
| | | |
| Итак, максимум действия $2F$ достигается при соотношении частот как четное к нечетному в общем! | | Итак, максимум действия $2F$ достигается при соотношении частот как четное к нечетному в общем! |
| | | |
