Правка разделов «Решение», «Ответ»
ru/9.3.24.md
+10 −3
| ### Условие | |||
| $9.3.24.$ Длинный цилиндрический железный стержень радиуса $r$ намагничен в магнитном поле, перпендикулярном оси стержня. Магнитный момент единицы объема стержня $M$. Как зависит индукция магнитного поля от $x$ на расстояниях, много меньших длины стержня? | |||
| @@ -4,25 +4,32 @@Условие | |||
| ### Решение | |||
| − | Разрежем наш цилиндр на пластины вдоль его оси, толщина такой пластины $h = Rsin\varphi d\varphi$, где $\varphi$ - азимутный угол, посчитаем плотность тока через дугу $Rd \varphi$: | ||
| + | Разрежем наш цилиндр на пластины вдоль его оси, толщина такой пластины $h = R\sin\varphi d\varphi$, где $\varphi$ - азимутный угол, посчитаем плотность тока через дугу $Rd \varphi$: | ||
| − | $$i R d\varphi = M R sin\varphi d \varphi$$ | ||
| − | $$i = M sin \varphi$$ | ||
| + | $$i R d\varphi = M R \sin\varphi d \varphi$$ | ||
| + | $$i = M \sin \varphi$$ | ||
| + | |||
| Уже знакомый нам гармонический закон, поэтому поле внутри цилиндра однородно и равно: | |||
| $$B_{in} = \frac{\mu_0 M}{2}$$ | |||
| (смотреть задачу $9.3.22$) | |||
| Теперь используем результат той же задачи для нахождения эквивалентной плотности тока через сечении и используем предельный переход, рассмотрев поле от цилиндра как суперпозицию двух цилиндров на расстоянии $a \to 0$ с $j \to \infty$: | |||
| + | |||
| $$\frac{\mu_0 j a}{2} = \frac{\mu_0 M}{2}$$ | |||
| + | |||
| $$j = \frac{M}{a}$$ | |||
| + | |||
| Результирующее поле на расстоянии x: | |||
| + | |||
| $$B_{out} = \frac{\mu_0 j r^2}{2x}-\frac{\mu_0 j r^2}{2(x+a)}$$ | |||
| + | |||
| $$B_{out} = \frac{\mu_0 M}{2}(\frac{r}{x})^2$$ | |||
| #### Ответ | |||
| $$B_{in} = \frac{\mu_0 M}{2}$$ | |||
| + | |||
| $$B_{out} = \frac{\mu_0 M}{2}(\frac{r}{x})^2$$ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $9.3.24.$ Длинный цилиндрический железный стержень радиуса $r$ намагничен в магнитном поле, перпендикулярном оси стержня. Магнитный момент единицы объема стержня $M$. Как зависит индукция магнитного поля от $x$ на расстояниях, много меньших длины стержня? | $9.3.24.$ Длинный цилиндрический железный стержень радиуса $r$ намагничен в магнитном поле, перпендикулярном оси стержня. Магнитный момент единицы объема стержня $M$. Как зависит индукция магнитного поля от $x$ на расстояниях, много меньших длины стержня? | ||
| @@ -4,25 +4,32 @@Условие | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Разрежем наш цилиндр на пластины вдоль его оси, толщина такой пластины $h = Rsin\varphi d\varphi$, где $\varphi$ - азимутный угол, посчитаем плотность тока через дугу $Rd \varphi$: | Разрежем наш цилиндр на пластины вдоль его оси, толщина такой пластины $h = R\sin\varphi d\varphi$, где $\varphi$ - азимутный угол, посчитаем плотность тока через дугу $Rd \varphi$: | ||
| $$i R d\varphi = M R sin\varphi d \varphi$$ | $$i R d\varphi = M R \sin\varphi d \varphi$$ | ||
| $$i = M sin \varphi$$ | |||
| $$i = M \sin \varphi$$ | |||
| Уже знакомый нам гармонический закон, поэтому поле внутри цилиндра однородно и равно: | Уже знакомый нам гармонический закон, поэтому поле внутри цилиндра однородно и равно: | ||
| $$B_{in} = \frac{\mu_0 M}{2}$$ | $$B_{in} = \frac{\mu_0 M}{2}$$ | ||
| (смотреть задачу $9.3.22$) | (смотреть задачу $9.3.22$) | ||
| Теперь используем результат той же задачи для нахождения эквивалентной плотности тока через сечении и используем предельный переход, рассмотрев поле от цилиндра как суперпозицию двух цилиндров на расстоянии $a \to 0$ с $j \to \infty$: | Теперь используем результат той же задачи для нахождения эквивалентной плотности тока через сечении и используем предельный переход, рассмотрев поле от цилиндра как суперпозицию двух цилиндров на расстоянии $a \to 0$ с $j \to \infty$: | ||
| $$\frac{\mu_0 j a}{2} = \frac{\mu_0 M}{2}$$ | $$\frac{\mu_0 j a}{2} = \frac{\mu_0 M}{2}$$ | ||
| $$j = \frac{M}{a}$$ | $$j = \frac{M}{a}$$ | ||
| Результирующее поле на расстоянии x: | Результирующее поле на расстоянии x: | ||
| $$B_{out} = \frac{\mu_0 j r^2}{2x}-\frac{\mu_0 j r^2}{2(x+a)}$$ | $$B_{out} = \frac{\mu_0 j r^2}{2x}-\frac{\mu_0 j r^2}{2(x+a)}$$ | ||
| $$B_{out} = \frac{\mu_0 M}{2}(\frac{r}{x})^2$$ | $$B_{out} = \frac{\mu_0 M}{2}(\frac{r}{x})^2$$ | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$B_{in} = \frac{\mu_0 M}{2}$$ | $$B_{in} = \frac{\mu_0 M}{2}$$ | ||
| $$B_{out} = \frac{\mu_0 M}{2}(\frac{r}{x})^2$$ | $$B_{out} = \frac{\mu_0 M}{2}(\frac{r}{x})^2$$ | ||