$5.3.10.$ В тонком сосуде длины $L$ и сечения $S$ находится сухой воздух, изолированный заслонкой от воздуха, содержащего насыщенный водяной пар. Температура дна сосуда поддерживается на постоянном уровне ниже $0^{\circ}C$. Заслонку убирают. Оцените время, за которое в сосуде установится стационарное состояние пара. Определите массу воды, замораживаемой в единицу времени, когда в сосуде установится стационарный поток пара. Коэффициент диффузии насыщенного пара $D$, его плотность $\rho$.
Чтобы найти решение данной задачи, давайте сначала решим вспомогательную задачу. Представьте пьяного матроса, который выходит из бара на прямую улицу. Он делает шаги одинаковой длины $\lambda$. Но поскольку он абсолютно не контролирует своё направление, каждый следующий шаг он делает случайно: либо вперёд, либо назад. Для простоты рассмотрю одномерное движение вдоль одной линии. Вопрос: где он окажется через $N$ шагов?
Пусть общее смещение матроса от бара после $N$ шагов равно $L_{N}$, тогда следующий $(N+1)$-й шаг сместит его на:
Так как направление шага абсолютно случайное, то если мы рассмотрим тысячи таких матросов, удвоенное произведение $\pm 2L_{N}\lambda$ в половине случаев будет со знаком плюс, а в другой половине со знаком минус. При усреднении по большому количеству частиц это слагаемое просто обратится в ноль. Поэтому:
+
Так как направление шага абсолютно случайное, то если мы рассмотрим тысячи таких матросов, удвоенное произведение $\pm 2L_{N}\lambda$ в половине случаев будет со знаком плюс, а в другой половине со знаком минус. При усреднении по большому количеству матросов это слагаемое просто обратится в ноль. Поэтому:
Выходит, что после первого шага: $\left\langle L_{1}^{2}\right\rangle=\lambda^{2}$; после второго шага: $\left\langle L_{2}^{2}\right\rangle=\lambda^{2}+\lambda^{2}=2\lambda^{2}$; после третьего шага: $\left\langle L_{3}^{2}\right\rangle=3\lambda^{2}$; а после $N$ шага: $\left\langle L_{N}^{2}\right\rangle=N\lambda^{2}$
Теперь, чтобы вернуться от квадратов к обычному линейному расстоянию, извлечём квадратный корень:
Вернёмся к нашей изначальной задаче. Молекула пара в вашей задаче это и есть такой «матрос». Она совершает $N$ столкновений, каждое длиной $\lambda$ (длина свободного пробега). Чтобы пройти весь сосуд длиной $L$, нужно, чтобы её чистое смещение стало равным $L$:
Молекулярно-кинетическая теория показывает, что коэффициент диффузии $D\sim\lambda\upsilon$, тогда:
$$\tau\approx\frac{L^{2}}{D}$$
У Савченко здесь очередная опечатка (его ответ по размерности не подходит).
Для оценки массы применим закон Фика в интегральной форме для одномерного случая:
$$\dot{m}=DS\frac{\Delta\rho}{\Delta x}$$
На открытом конце сосуда плотность пара равна $\rho$, а на холодном дне пар мгновенно замерзает, поэтому его плотность равна 0. Изменение плотности на всей длине сосуда $L$ будет $\Delta\rho=\rho-0=\rho$, тогда:
$$\frac{\Delta\rho}{\Delta x}=\frac{\rho}{L}$$
Окончательно:
$$\dot{m}=\frac{DS\rho}{L}$$
#### Ответ
$$t\approx\frac{L^{2}}{D}$$
$$\dot{m}=\frac{DS\rho}{L}$$
ещё строк без изменений 41
### Условие
### Условие
$5.3.10.$ В тонком сосуде длины $L$ и сечения $S$ находится сухой воздух, изолированный заслонкой от воздуха, содержащего насыщенный водяной пар. Температура дна сосуда поддерживается на постоянном уровне ниже $0^{\circ}C$. Заслонку убирают. Оцените время, за которое в сосуде установится стационарное состояние пара. Определите массу воды, замораживаемой в единицу времени, когда в сосуде установится стационарный поток пара. Коэффициент диффузии насыщенного пара $D$, его плотность $\rho$.
$5.3.10.$ В тонком сосуде длины $L$ и сечения $S$ находится сухой воздух, изолированный заслонкой от воздуха, содержащего насыщенный водяной пар. Температура дна сосуда поддерживается на постоянном уровне ниже $0^{\circ}C$. Заслонку убирают. Оцените время, за которое в сосуде установится стационарное состояние пара. Определите массу воды, замораживаемой в единицу времени, когда в сосуде установится стационарный поток пара. Коэффициент диффузии насыщенного пара $D$, его плотность $\rho$.
Чтобы найти решение данной задачи, давайте сначала решим вспомогательную задачу. Представьте пьяного матроса, который выходит из бара на прямую улицу. Он делает шаги одинаковой длины $\lambda$. Но поскольку он абсолютно не контролирует своё направление, каждый следующий шаг он делает случайно: либо вперёд, либо назад. Для простоты рассмотрю одномерное движение вдоль одной линии. Вопрос: где он окажется через $N$ шагов?
Чтобы найти решение данной задачи, давайте сначала решим вспомогательную задачу. Представьте пьяного матроса, который выходит из бара на прямую улицу. Он делает шаги одинаковой длины $\lambda$. Но поскольку он абсолютно не контролирует своё направление, каждый следующий шаг он делает случайно: либо вперёд, либо назад. Для простоты рассмотрю одномерное движение вдоль одной линии. Вопрос: где он окажется через $N$ шагов?
Пусть общее смещение матроса от бара после $N$ шагов равно $L_{N}$, тогда следующий $(N+1)$-й шаг сместит его на:
Пусть общее смещение матроса от бара после $N$ шагов равно $L_{N}$, тогда следующий $(N+1)$-й шаг сместит его на:
Так как направление шага абсолютно случайное, то если мы рассмотрим тысячи таких матросов, удвоенное произведение $\pm 2L_{N}\lambda$ в половине случаев будет со знаком плюс, а в другой половине со знаком минус. При усреднении по большому количеству частиц это слагаемое просто обратится в ноль. Поэтому:
Так как направление шага абсолютно случайное, то если мы рассмотрим тысячи таких матросов, удвоенное произведение $\pm 2L_{N}\lambda$ в половине случаев будет со знаком плюс, а в другой половине со знаком минус. При усреднении по большому количеству матросов это слагаемое просто обратится в ноль. Поэтому:
Выходит, что после первого шага: $\left\langle L_{1}^{2}\right\rangle=\lambda^{2}$; после второго шага: $\left\langle L_{2}^{2}\right\rangle=\lambda^{2}+\lambda^{2}=2\lambda^{2}$; после третьего шага: $\left\langle L_{3}^{2}\right\rangle=3\lambda^{2}$; а после $N$ шага: $\left\langle L_{N}^{2}\right\rangle=N\lambda^{2}$
Выходит, что после первого шага: $\left\langle L_{1}^{2}\right\rangle=\lambda^{2}$; после второго шага: $\left\langle L_{2}^{2}\right\rangle=\lambda^{2}+\lambda^{2}=2\lambda^{2}$; после третьего шага: $\left\langle L_{3}^{2}\right\rangle=3\lambda^{2}$; а после $N$ шага: $\left\langle L_{N}^{2}\right\rangle=N\lambda^{2}$
Теперь, чтобы вернуться от квадратов к обычному линейному расстоянию, извлечём квадратный корень:
Теперь, чтобы вернуться от квадратов к обычному линейному расстоянию, извлечём квадратный корень:
Вернёмся к нашей изначальной задаче. Молекула пара в вашей задаче это и есть такой «матрос». Она совершает $N$ столкновений, каждое длиной $\lambda$ (длина свободного пробега). Чтобы пройти весь сосуд длиной $L$, нужно, чтобы её чистое смещение стало равным $L$:
Вернёмся к нашей изначальной задаче. Молекула пара в вашей задаче это и есть такой «матрос». Она совершает $N$ столкновений, каждое длиной $\lambda$ (длина свободного пробега). Чтобы пройти весь сосуд длиной $L$, нужно, чтобы её чистое смещение стало равным $L$:
Молекулярно-кинетическая теория показывает, что коэффициент диффузии $D\sim\lambda\upsilon$, тогда:
Молекулярно-кинетическая теория показывает, что коэффициент диффузии $D\sim\lambda\upsilon$, тогда:
$$\tau\approx\frac{L^{2}}{D}$$
$$\tau\approx\frac{L^{2}}{D}$$
У Савченко здесь очередная опечатка (его ответ по размерности не подходит).
У Савченко здесь очередная опечатка (его ответ по размерности не подходит).
Для оценки массы применим закон Фика в интегральной форме для одномерного случая:
Для оценки массы применим закон Фика в интегральной форме для одномерного случая:
$$\dot{m}=DS\frac{\Delta\rho}{\Delta x}$$
$$\dot{m}=DS\frac{\Delta\rho}{\Delta x}$$
На открытом конце сосуда плотность пара равна $\rho$, а на холодном дне пар мгновенно замерзает, поэтому его плотность равна 0. Изменение плотности на всей длине сосуда $L$ будет $\Delta\rho=\rho-0=\rho$, тогда:
На открытом конце сосуда плотность пара равна $\rho$, а на холодном дне пар мгновенно замерзает, поэтому его плотность равна 0. Изменение плотности на всей длине сосуда $L$ будет $\Delta\rho=\rho-0=\rho$, тогда:
