Решебник Савченко

Решение задач из Савченко О.Я.

Aliaksandr Melnichenka
October 2023

    <h3 id="back-link"><a href="/#3">$\leftarrow$Назад</a></h3>

	<h3> Условие: </h3>

	<p> \\(1.3.6.\\) Из орудия произведен выстрел под углом \\(\varphi\\) к горизонту. Начальная

скорость снаряда $v$. Поверхность земли горизонтальна. Найдите:

а) горизонтальную и вертикальную проекции скорости как функции времени;

б) зависимость координат $x$ и $y$ от времени;

в) уравнение траектории, т. е. зависимость $y$ от $x$;

г) время полета, наибольшую высоту и дальность полета снаряда.

    <h3> Решение: </h3>

    <p>
    	а) Т.к. внешняя сила(сила тяготения) действует только в вертикальном направлении, горизонтальная составляющая скорости $v_x$ остается неизменной
    </p>
    <p class="exp">
    	$v_x = v \cdot \cos{\varphi}\\;(1)$
    </p>
    <p>
    	А вертикальная составляющая зависит как функция от времени 
    </p>
    <p class="exp">
    	$v_y(t) = v \cdot \sin{\varphi} - gt\\;(2)$
    </p>
    <p>
    	б) Исходя из полученных выражений для скорости $(1)$ и $(2)$, получаем зависимость горизонатальной и вертикальной координаты от времени, соответственно:
    </p>
    <p class="exp">
    	$$y(t) = vt \cdot \sin{\varphi} - \frac{gt^2}{2}\\;(3)$$
    </p>
    <p class="exp">
    	$x(t) = vt \cdot \cos{\varphi}\\;(4)$
    </p>
    <p>
    	в) Из $(4)$ выражаем $t$: 
    </p>
    <p class="exp">
    	$$t = \frac{x}{v \cdot \cos{\varphi}} \\;(5)$$
    </p>
    <p>
    	И подставляем в $(3)$
    </p>
    <p class="exp">
    	$$y(x) = x \tan \varphi-\frac{gx^2}{2v^2\cos^2\varphi}\\;(6)$$
    </p>
    <p>
    	г) Максимальная высота достигается тогда, когда скорость будет направлена горизонтально($v_y = 0$):
    </p>
    <p class="exp">
    	$$t_0 = \frac{v\sin\varphi}{g}\\;(7)$$
    </p>
    <p>
    	Подставляя $(7)$ в $(3)$:
    </p>
    <p class="exp">
    	$$H = \frac{v^2}{2g}\operatorname{sin}^2\varphi\\;(8)$$
    </p>
    <p>
    	Из симметрии параболы, время через к-ое тело снова окажется на земле$(y = 0)$, найдем как: 
    </p>
    <p class="exp">
    	$$T = 2t_0 = \frac{2v\sin\varphi}{g}\\;(9)$$
    </p>
    <p>
    	Подставляя $(9)$ в $(4)$:
    </p>
    <p class="exp">
    	$$L=\frac{v^2}{g}\operatorname{sin}2\varphi\\;(10)$$
    </p>

    <h4> 
    	Ответ: 
    </h4>

    <p>
    	$a) \\;v_x= v\cos\varphi, v_y = v\sin\varphi-gt$
    </p>
    <p>
    	$б)\\; x = (v\cos\varphi)t, y = (v\sin{\varphi})t - gt^2/2$
    </p>
    <p>
    	$в) \\;y = x \tan \varphi-\frac{gx^2}{2v^2\cos^2\varphi} =x\operatorname{tg}\varphi-\frac{gx^2}{2v^2}(\operatorname{tg}^2\varphi+1)$
    </p>
    <p>
    	$г) \\;T=\frac{2v}{g}\operatorname{sin}\varphi, H=\frac{v^2}{2g}\operatorname{sin}^2\varphi, L=\frac{v^2}{g}\operatorname{sin}2\varphi$
    </p>
    <br>

<footer class="row container">
    <p>
        <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> astrosander01@gmail.com <br></small>
    </p>
</footer>