### Условие ### Условие $ 3.4.14. $ Частица при действии на нее силы $ F=F_ { 0 } \cos\omega t $ колеблется по закону $ x=A \cos ( \omega t- \varphi ) $ . Какова средняя мощность этой силы?$ 3.4.14. $ Частица при действии на нее силы $ F=F_ { 0 } \cos\omega t $ колеблется по закону $ x=A \cos ( \omega t- \varphi ) $ . Какова средняя мощность этой силы?### Решение ### Решение По определению средняя мощность силы: По определению средняя мощность силы: $$ N= \left\langle F \cdot \upsilon \right\rangle $$ $$ N= \left\langle F \cdot \upsilon \right\rangle $$ усреднение будет идти по времени. Скорость частицы найдем дифференцированием координаты: усреднение будет идти по времени. Скорость частицы найдем дифференцированием координаты: $$ \upsilon = \frac { dx }{ dt } =-A \omega \sin ( \omega t- \varphi ) $$ $$ \upsilon = \frac { dx }{ dt } =-A \omega \sin ( \omega t- \varphi ) $$ Подставим в выражение для средней мощности силу и скорость: Подставим в выражение для средней мощности силу и скорость: $$ N= \left\langle F_ { 0 } \cos\omega t \cdot (-A \omega \sin ( \omega t- \varphi )) \right\rangle $$ $$ N= \left\langle F_ { 0 } \cos\omega t \cdot (-A \omega \sin ( \omega t- \varphi )) \right\rangle $$ $$ N=-AF_ { 0 } \omega\left\langle \cos\omega t \cdot \sin ( \omega t- \varphi ) \right\rangle \tag { 1 } $$ $$ N=-AF_ { 0 } \omega\left\langle \cos\omega t \cdot \sin ( \omega t- \varphi ) \right\rangle \tag { 1 } $$ Воспользуемся тригонометрической формулой: Воспользуемся тригонометрической формулой: $$ \cos\omega t \cdot \sin ( \omega t- \varphi )= \frac { 1 }{ 2 } \left [ \sin (2 \omega t- \varphi )- \sin\varphi \right ] \tag { 2 } $$ $$ \cos\omega t \cdot \sin ( \omega t- \varphi )= \frac { 1 }{ 2 } \left [ \sin (2 \omega t- \varphi )- \sin\varphi \right ] \tag { 2 } $$ Подставим (2) в (1): Подставим (2) в (1): $$ N=-AF_ { 0 } \omega\left\langle \frac { 1 }{ 2 } \left [ \sin (2 \omega t- \varphi )- \sin\varphi \right ] \right\rangle =- \frac { 1 }{ 2 } A \omega F_ { 0 } \left\langle \sin (2 \omega t- \varphi ) \right\rangle + \frac { 1 }{ 2 } A \omega F_ { 0 } \sin\varphi $$ $$ N=-AF_ { 0 } \omega\left\langle \frac { 1 }{ 2 } \left [ \sin (2 \omega t- \varphi )- \sin\varphi \right ] \right\rangle =- \frac { 1 }{ 2 } A \omega F_ { 0 } \left\langle \sin (2 \omega t- \varphi ) \right\rangle + \frac { 1 }{ 2 } A \omega F_ { 0 } \sin\varphi $$ Среднее значение за период функции $ \sin (2 \omega t- \varphi ) $ равно 0 (одинаковый вклад как положителных значений, так и отрицательных). Окончательно получим: Среднее значение за период функции $ \sin (2 \omega t- \varphi ) $ равно 0 (одинаковый вклад как положителных значений, так и отрицательных). Окончательно получим: $$ N= \frac { 1 }{ 2 } \omega F_ { 0 } A \sin\varphi $$ $$ N= \frac { 1 }{ 2 } \omega F_ { 0 } A \sin\varphi $$ ### Альтернативное решение ### Альтернативное решение Мощность по определению Мощность по определению $$ $$ P=Fv. P=Fv. $$ $$ Скорость Скорость $$ $$ v= \dot x=-A \omega\sin\left ( \omega t- \varphi\right ). v= \dot x=-A \omega\sin\left ( \omega t- \varphi\right ). $$ $$
@@ -47,10 +47,10 @@Альтернативное решение
По формуле приведения это пишем через косинус
По формуле приведения это пишем через косинус
\begin {multline*}\begin {align *}
v=-A\omega\sin\left (\pi /2+\omega t-\varphi -\pi /2\right )=\\\\
v=& -A\omega\sin\left (\pi /2+\omega t-\varphi -\pi /2\right )=\\\\
-A\omega\cos\left (\omega t-\varphi -\pi /2\right )
& -A\omega\cos\left (\omega t-\varphi -\pi /2\right ).
\end {multline*}\end {align *}
Подставляем это в мощность с учетом для силы
Подставляем это в мощность с учетом для силы
$$ $$ P=-F_0A \omega\cos\left ( \omega t \right ) \cos\left ( \omega t- \varphi - \pi /2 \right ) P=-F_0A \omega\cos\left ( \omega t \right ) \cos\left ( \omega t- \varphi - \pi /2 \right ) $$ $$ и используем тригонометрическое и используем тригонометрическое $$ $$ 2 \cos\alpha\cos\beta = \cos ( \alpha + \beta )+ \cos ( \alpha - \beta ), 2 \cos\alpha\cos\beta = \cos ( \alpha + \beta )+ \cos ( \alpha - \beta ), $$ $$ что дает что дает $$ $$ P=- \frac { F_0A \omega }{ 2 } \left [ \cos\left (2 \omega t- \varphi - \pi /2 \right )+ \cos ( \varphi + \pi /2) \right ]. P=- \frac { F_0A \omega }{ 2 } \left [ \cos\left (2 \omega t- \varphi - \pi /2 \right )+ \cos ( \varphi + \pi /2) \right ]. $$ $$ или или $$ $$ P=- \frac { F_0A \omega }{ 2 } \left [ \cos\left (2 \omega t- \varphi - \pi /2 \right )- \sin\varphi\right ]. P=- \frac { F_0A \omega }{ 2 } \left [ \cos\left (2 \omega t- \varphi - \pi /2 \right )- \sin\varphi\right ]. $$ $$ Средняя мощность за период Средняя мощность за период $$ $$ \langle P \rangle = \langle - \frac { F_0A \omega }{ 2 } \left [ \cos\left (2 \omega t- \varphi - \pi /2 \right )- \sin\varphi\right ] \rangle . \langle P \rangle = \langle - \frac { F_0A \omega }{ 2 } \left [ \cos\left (2 \omega t- \varphi - \pi /2 \right )- \sin\varphi\right ] \rangle . $$ $$ Равна сумме средних правой части Равна сумме средних правой части $$ $$ \langle P \rangle = \frac { 1 }{ 2 } \omega F_ { 0 } A \sin\varphi \langle P \rangle = \frac { 1 }{ 2 } \omega F_ { 0 } A \sin\varphi $$ $$ (использовали, что среднее первого слагаемого равно нулю). (использовали, что среднее первого слагаемого равно нулю). #### Литература #### Литература [1] И. Яковлев. Среднее значение функции. Материалы по физике. mathus.ru. [1] И. Яковлев. Среднее значение функции. Материалы по физике. mathus.ru. [2] Зельдович Я.Б. Высшая математика для начинающих физиков и техников. ИТФ Ландау. 1982. [2] Зельдович Я.Б. Высшая математика для начинающих физиков и техников. ИТФ Ландау. 1982. [3] И. Яковлев. Тригонометрические формулы. mathus.ru. [3] И. Яковлев. Тригонометрические формулы. mathus.ru. #### Ответ #### Ответ $ N= \frac { 1 }{ 2 } \omega F_ { 0 } A \sin\varphi $ $ N= \frac { 1 }{ 2 } \omega F_ { 0 } A \sin\varphi $
