Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/6.5.8.md
+42 −4
| @@ -1,11 +1,49 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $6.5.8 | ||
| + | $6.5.8^∗$ | ||
| + | $а.$ В центр равномерно заряженной полусферы, поверхностная плотность заряда которой $\sigma$, поместили заряд $q$. С какой силой этот заряд действует на полусферу? на половину полусферы $(1)$? на четвертую ее часть $(2)$? Определите напряженность электрического поля от этих частей сфер в ее центре. | ||
| + | $б.$ Определите напряженность электрического поля в центре равномерно заряженного полушария радиуса $R$ с объемной плотностью заряда $\rho$. | ||
| + | |||
| + |  | ||
| + | |||
| ### Решение | |||
| + | Сразу: | ||
| + | $$ | ||
| + | \vec F=q \vec E | ||
| + | $$ | ||
| + | Поэтому достаточно найти или силу, или поле, и можно тривиально получить второе. Это полезно потому, что проще всего считать сразу именно силу, причем не со стороны поля участка сферы на заряд, а наоборот: | ||
| + | $$ | ||
| + | \vec{dF}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R^2}\sigma\vec{dS} | ||
| + | $$ | ||
| + | Для наших фигур интегрирование проекций даст суммарно в общем случае | ||
| + | $$ | ||
| + | F=\frac{q\sigma}{4\pi\varepsilon_0 R^2}\sqrt{S_x^2+S_y^2+S_x^2} | ||
| + | $$ | ||
| + | Теперь поместим начало координат в центр сферы, плоскость $xy$ по одному из разрезу, и после несложных расчётов получим (обозначим $S=\pi R^2$): | ||
| + | $$ | ||
| + | F_1=\frac{q\sigma}{4\pi\varepsilon_0 R^2}\sqrt{0^2+0^2+S^2}=\frac{q\sigma}{4\varepsilon_0} | ||
| + | $$ | ||
| + | $$ | ||
| + | F_2=\frac{q\sigma}{4\pi\varepsilon_0 R^2}\sqrt{0^2+(S/2)^2+(S/2)^2}=\frac{\sqrt{2}q\sigma}{8\varepsilon_0} | ||
| + | $$ | ||
| + | $$ | ||
| + | F_3=\frac{q\sigma}{4\pi\varepsilon_0 R^2}\sqrt{(S/4)^2+(S/4)^2+(S/4)^2}=\frac{\sqrt{3}q\sigma}{16\varepsilon_0} | ||
| + | $$ | ||
| + | Тут важно помнить, что проекция тут - не тень фигуры. Мы работаем с нормалями к поверхности. Несложно те же результаты получить интегрированием в сферической системе координат. | ||
| − | 1 | ||
| + | Решая $б$, воспользуемся результатом для полусферы. Разобьём полушар на концетрические полусферы толщиной $dR$ | ||
| + | $$ | ||
| + | E=\int_0^R \frac{\rho}{4\varepsilon_0}dR=\frac{R\rho}{4\varepsilon_0} | ||
| + | $$ | ||
| #### Ответ | |||
| − | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | $$ | ||
| + | a. \ F_1=\frac{q\sigma}{4\varepsilon_0}, \quad F_2=\frac{\sqrt{2}q\sigma}{8\varepsilon_0}, \quad F_3=\frac{\sqrt{3}q\sigma}{16\varepsilon_0} | ||
| + | $$ | ||
| + | $$ | ||
| + | E_1=\frac{\sigma}{4\varepsilon_0}, \quad E_2=\frac{\sqrt{2}\sigma}{8\varepsilon_0}, \quad E_3=\frac{\sqrt{3}\sigma}{16\varepsilon_0} | ||
| + | $$ | ||
| + | $$ | ||
| + | б. \ E=\frac{R\rho}{4\varepsilon_0} | ||
| + | $$ | ||
| @@ -1,11 +1,49 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $6.5.8 |
$6.5.8^∗$ | ||
| $а.$ В центр равномерно заряженной полусферы, поверхностная плотность заряда которой $\sigma$, поместили заряд $q$. С какой силой этот заряд действует на полусферу? на половину полусферы $(1)$? на четвертую ее часть $(2)$? Определите напряженность электрического поля от этих частей сфер в ее центре. | |||
| $б.$ Определите напряженность электрического поля в центре равномерно заряженного полушария радиуса $R$ с объемной плотностью заряда $\rho$. | |||
|  | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Сразу: | |||
| $$ | |||
| \vec F=q \vec E | |||
| $$ | |||
| Поэтому достаточно найти или силу, или поле, и можно тривиально получить второе. Это полезно потому, что проще всего считать сразу именно силу, причем не со стороны поля участка сферы на заряд, а наоборот: | |||
| $$ | |||
| \vec{dF}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R^2}\sigma\vec{dS} | |||
| $$ | |||
| Для наших фигур интегрирование проекций даст суммарно в общем случае | |||
| $$ | |||
| F=\frac{q\sigma}{4\pi\varepsilon_0 R^2}\sqrt{S_x^2+S_y^2+S_x^2} | |||
| $$ | |||
| Теперь поместим начало координат в центр сферы, плоскость $xy$ по одному из разрезу, и после несложных расчётов получим (обозначим $S=\pi R^2$): | |||
| $$ | |||
| F_1=\frac{q\sigma}{4\pi\varepsilon_0 R^2}\sqrt{0^2+0^2+S^2}=\frac{q\sigma}{4\varepsilon_0} | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| F_2=\frac{q\sigma}{4\pi\varepsilon_0 R^2}\sqrt{0^2+(S/2)^2+(S/2)^2}=\frac{\sqrt{2}q\sigma}{8\varepsilon_0} | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| F_3=\frac{q\sigma}{4\pi\varepsilon_0 R^2}\sqrt{(S/4)^2+(S/4)^2+(S/4)^2}=\frac{\sqrt{3}q\sigma}{16\varepsilon_0} | |||
| $$ | |||
| Тут важно помнить, что проекция тут - не тень фигуры. Мы работаем с нормалями к поверхности. Несложно те же результаты получить интегрированием в сферической системе координат. | |||
| 1 | Решая $б$, воспользуемся результатом для полусферы. Разобьём полушар на концетрические полусферы толщиной $dR$ | ||
| $$ | |||
| E=\int_0^R \frac{\rho}{4\varepsilon_0}dR=\frac{R\rho}{4\varepsilon_0} | |||
| $$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$ | |||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | a. \ F_1=\frac{q\sigma}{4\varepsilon_0}, \quad F_2=\frac{\sqrt{2}q\sigma}{8\varepsilon_0}, \quad F_3=\frac{\sqrt{3}q\sigma}{16\varepsilon_0} | ||
| $$ | |||
| $$ | |||
| E_1=\frac{\sigma}{4\varepsilon_0}, \quad E_2=\frac{\sqrt{2}\sigma}{8\varepsilon_0}, \quad E_3=\frac{\sqrt{3}\sigma}{16\varepsilon_0} | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| б. \ E=\frac{R\rho}{4\varepsilon_0} | |||
| $$ | |||