6.5.27∗. В плоский конденсатор с размерами обкладок a × a и расстоянием между ними $d$ помещают так, как изображено на рисунке, проводящую пластинку толщины $c$ с размерами $a \times a$. Определите, какую силу нужно приложить к пластинке, чтобы удержать ее на месте, если:
$а)$ заряд обкладок равен $\pm Q$;
$б)$ между обкладками поддерживается постоянная разность потенциалов $V$ .
Решение
Пусть пластину поместили в конденсатор на глубину $x$. Тогда ёмкость оставшейся части конденсатора равна
$$C_1=\frac{\varepsilon_0 a(a-x)}{d}$$ а пластинка создаёт фактически еще 2 последовательно подключённых конденсатора, каждый ёмкостью $$C_2=\frac{2\varepsilon_0 ax}{d-c}$$ Суммарно $$C_3=\frac{1}{1/C_2+1/C_2}=\frac{\varepsilon_0 ax}{d-c}$$ На $C_1$ и $C_3$ одинаковое напряжение, значит их можно считать параллельно подключёнными, тогда полная ёмкость системы равна $$C=\frac{\varepsilon_0 a(a-x)}{d}+\frac{\varepsilon_0 ax}{d-c}$$ $$C(a/2)=\frac{\varepsilon_0 a^2}{2d}+\frac{\varepsilon_0 a^2}{2(d-c)}=\frac{\varepsilon_0 a^2(2d-c)}{2d(d-c)}$$ Нам пригодится величина $$\zeta =\frac{dC}{dx}=\frac{\varepsilon_0 ac}{d(d-c)}$$ Интересно, что она не зависит от положения пластины
Если мы приложим силу к пластине, то начнем совершать работу по изменению ёмкости, а значит, и энергии конденсатора. Тогда сила $$F=\pm\frac{dW_c}{dx}=\pm\frac{dW_c}{dC}\zeta$$ Следует быть осторожными при выборе формулы для энергии, потому что в $б)$ допускается еще и работа источника, а это может повлиять на ответ. Выбор знака тоже связан с этим, но если нам надо модуль силы это не столь важно. Поэтому $$F_a=-\frac{d}{dC}\left[\frac{Q^2}{2C}\right]_{C(a/2)}\cdot \zeta=\frac{Q^2}{2C(a/2)^2}\zeta$$ $$F_b=\frac{d}{dC}\left[\frac{CV^2}{2}\right]_{C(a/2)}\cdot \zeta=\frac{V^2}{2}\zeta$$ $$F_a=\frac{2Q^2dc(d-c)}{\varepsilon_0 a^3 (2d-c)^2}$$ $$F_b=\frac{\varepsilon_0acV^2}{2d (d-c)}$$
