Решение

Перед решением этой задачи рекомендую ознакомится с задачей 10.1.10.

Иллюстрация и идея решения взята из издания "Слободянюк А.И. «Очень длинные физические задачи» Часть 2. Задачи 10 – 18"

Движение каждой частицы будет происходить по винтовой линии, радиус которой зависит от угла вылета частицы. Причем все спирали не будут соосны, а будут касаться одной прямой - оси пучка. Если угол вылета частиц к вектору магнитной индукции мал, то все траектории-спирали будут иметь приблизительно одинаковый шаг $(Допущение \ 1)$, поэтому на расстоянии шага спирали будет наблюдаться эффект фокусировки частиц.

Рассмотрим группу частиц вылетевших под одинаковыми углами $\beta$ к оси пучка. За некоторый промежуток времени t они пройдут дугу окружности $ϕ = \frac{2πt}{T}$ ($T$ - циклотронный период) радиуса $R=\frac{m_ev\sin\beta}{eB}$, удалятся от оси пучка на расстояние $r=\mid2R\sin\frac{\varphi}{2}\mid$ и сместятся на расстояние $x = vt \cos\beta$ вдоль этой оси. Из этого получим:

$$r=\left|2\frac{m_ev\sin\beta}{eB}\sin\frac{2\pi x}{2Tv\cos\beta}\right|=\left|2\frac{m_ev\sin\beta}{eB}\sin\frac{eBx}{2m_ev\cos\beta}\right|\tag{1}$$

$\beta\leq\frac{δα}{2}$, угол $δα$ малый, значит $\cos\beta\approx1$, $\sin\beta\approx\beta$ $(Допущение \ 2)$

Ширина пучка будет определяться частицами, вылетевшими под максимальным углом $\beta=\frac{\delta\alpha}{2}$, то есть функция зависимости радиуса пучка от координаты $x$ имеет вид

$$r(x)=\frac{mv(\delta\alpha)}{eB}\left| \sin\left(\frac{eBx}{2mv}\right)\right|\tag{2}$$

Минимумам данной функции соответствуют "фокусные расстояния" системы:

$$x_f=\frac{2\pi mv}{eB}k, k\in N \tag{3}$$

Заметим, что при малых $k$ $Допущение \ 1$ работает лучше (см. рис.), поэтому в ответ записываем значение при $k=1$

Для определения ширины пучка в области фокуса необходимо учесть зависимость продольной компоненты скорости от угла вылета. Для этого внесем в $Допущение \ 2$ уточнение для косинуса: $\cos\beta\approx1-\frac{\beta^2}{2}$ (Допущение $3$), и перепишем уравнение $(1)$ для области фокуса:

$$r(x)=\frac{2m_ev\beta}{eB}\left| \sin\left(\frac{eBx_f}{2m_ev(1-\frac{\beta^2}{2})}\right)\right|=\frac{2m_ev\beta}{eB}\left| \sin\left(\frac{\pi}{1-\frac{\beta^2}{2}}\right)\right|\tag{4}$$

Максимальное значение этой функции соответствует максимальному углу вылета, поэтому ширина пучка определяется формулой

$$r_{max}=\frac{m_ev(\delta\alpha)}{eB}\left| \sin\left(\frac{\pi}{1-\frac{\delta\alpha^2}{8}}\right)\right|\tag{5}$$

Это выражение можно упростить, используя малость ($2$ порядка!) угла $\frac{\delta\alpha^2}{8}$, выражение для синуса суммы и $Допущение \ 2$:

$$\left(1-\frac{\delta\alpha^2}{8}\right)^{-1}\approx1+\frac{\delta\alpha^2}{8}$$
$$\sin\left(\pi+\frac{\pi(\delta\alpha )^2}{8}\right)=sin\left(\frac{\pi(\delta\alpha)^2}{8}\right)\approx\frac{\pi(\delta\alpha)^2}{8}$$
$$d=2r=\frac{πm_ev(δα)^3}{4eB}$$