Условие

11.5.23^∗. Медное кольцо радиуса $r$ и массы $m$ висит на нити, совершая малые крутильные колебания с периодом $T$. Индуктивность кольца $L$. Как изменится период колебаний кольца, если его поместить в горизонтальное однородное магнитное поле индукции $B$, параллельное плоскости кольца в положении равновесия? Момент инерции кольца относительно оси, проходящей по диаметру, равен $J$. Сопротивлением кольца пренебречь.

Период колебаний обычного крутильного маятника при малой амплитуде равен:

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{J}{k}}$$

Где $k$ - крутильная жесткость нити, выразим ее:

$$k = \frac{4 \pi^2 J}{T^2}$$

Момент действующий на рамку со стороны магнитного поля равен:

$$M = \mu \times B \approx \mu B$$

где $\mu = \pi r^2 I$ - магнитный момент рамки.

Магнитный поток через рамку равен:

$$\Phi = L I = B \pi r^2 \varphi$$

$$I = \frac{B \pi r^2}{L} \varphi$$

Составим уравнение колебаний по 2ЗН для вращательного движения:

$$J \beta = k = \frac{4 \pi^2 J}{T^2} \varphi + \frac{B^2 \pi^2 r^4}{L} \varphi$$

Период по аналогии с обычными колебаниями, после преобразований:

$$T' = \frac{T}{\sqrt{1+\frac{B^2 r^4 T^2}{4LJ}}}$$