| @@ -1,8 +1,9 @@ |
| ### Условие |
| ### Условие |
| |
| |
| $11.5.23.$ Медное кольцо радиуса $r$ и массы $m$ висит на нити, совершая малые крутильные колебания с периодом $T$. Индуктивность кольца $L$. Как изменится период колебаний кольца, если его поместить в горизонтальное однородное магнитное поле индукции $B$, параллельное плоскости кольца в положении равновесия? Момент инерции кольца относительно оси, проходящей по диаметру, равен $J$. Сопротивлением кольца пренебречь. |
| $11.5.23.$ Медное кольцо радиуса $r$ и массы $m$ висит на нити, совершая малые крутильные колебания с периодом $T$. Индуктивность кольца $L$. Как изменится период колебаний кольца, если его поместить в горизонтальное однородное магнитное поле индукции $B$, параллельное плоскости кольца в положении равновесия? Момент инерции кольца относительно оси, проходящей по диаметру, равен $J$. Сопротивлением кольца пренебречь. |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
| ### Решение |
| ### Решение |
| |
| |
| Период колебаний обычного крутильного маятника при малой амплитуде равен: |
| Период колебаний обычного крутильного маятника при малой амплитуде равен: |
| | | |
| $$T = 2\pi \sqrt{\frac{J}{k}}$$ | | $$T = 2\pi \sqrt{\frac{J}{k}}$$ |
| | | |
| Где $k$ - крутильная жесткость нити, выразим ее: | | Где $k$ - крутильная жесткость нити, выразим ее: |
| | | |
| $$k = \frac{4 \pi^2 J}{T^2}$$ | | $$k = \frac{4 \pi^2 J}{T^2}$$ |
| | | |
| Момент действующий на рамку со стороны магнитного поля равен: | | Момент действующий на рамку со стороны магнитного поля равен: |
| | | |
| $$M = \mu \times B \approx \mu B$$ | | $$M = \mu \times B \approx \mu B$$ |
| | | |
| где $\mu = \pi r^2 I$ - магнитный момент рамки. | | где $\mu = \pi r^2 I$ - магнитный момент рамки. |
| | | |
| Магнитный поток через рамку равен: | | Магнитный поток через рамку равен: |
| | | |
| $$\Phi = L I = B \pi r^2 \varphi$$ | | $$\Phi = L I = B \pi r^2 \varphi$$ |
| | | |
| $$I = \frac{B \pi r^2}{L} \varphi$$ | | $$I = \frac{B \pi r^2}{L} \varphi$$ |
| | | |
| Составим уравнение колебаний по 2ЗН для вращательного движения: | | Составим уравнение колебаний по 2ЗН для вращательного движения: |
| | | |
| $$J \beta = k = \frac{4 \pi^2 J}{T^2} \varphi + \frac{B^2 \pi^2 r^4}{L} \varphi$$ | | $$J \beta = k = \frac{4 \pi^2 J}{T^2} \varphi + \frac{B^2 \pi^2 r^4}{L} \varphi$$ |
| | | |
| Период по аналогии с обычными колебаниями, после преобразований: | | Период по аналогии с обычными колебаниями, после преобразований: |
| | | |
| $$T' = \frac{T}{\sqrt{1+\frac{B^2 r^4 T^2}{4LJ}}}$$ | | $$T' = \frac{T}{\sqrt{1+\frac{B^2 r^4 T^2}{4LJ}}}$$ |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| | | |
| $$T' = \frac{T}{\sqrt{1+\frac{B^2 r^4 T^2}{4LJ}}}$$ | | $$T' = \frac{T}{\sqrt{1+\frac{B^2 r^4 T^2}{4LJ}}}$$ |
