$7.4.10.$ Скорости трёх заряженных частиц массы m изображены на рисунке. Расстояние от каждой частицы до ребра металлического двугранного угла d. Заряды первых двух частиц, летящих в противоположных направлениях, равны –q, заряд третьей частицы q. Определите скорость этих частиц на большом расстоянии друг от друга.
Металлическая поверхность двугранного угла является эквипотенциальной поверхностью с потенциалом $\Phi=0$. Чтобы удовлетворить это условие можно заменить влияние индуцированных на металле зарядов одним фиктивным зарядом $+q$, расположенным в четвертом квадранте.
В точке нахождения заряда $-q$ в первом квадранте потенциал создается: реальным зарядом $+q$ из второго квадранта на расстоянии $d\sqrt{2}$, реальным зарядом $-q$ из третьего квадранта на расстоянии $2d$ и и фиктивным зарядом $+q$ на расстоянии $d\sqrt{2}$:
В точке нахождения заряда $+q$ во втором квадранте потенциал создается: двумя реальными зарядами $-q$ на расстоянии $d\sqrt{2}$ каждый и фиктивным зарядом $+q$ на расстоянии $2d$:
В точке нахождения заряда $-q$ в третьем квадранте в силу симметрии потенциал в точности равен потенциалу, как у заряда $-q$ из первого квадранта:
$$\Phi_{3}=\Phi_{1}$$
Энергия взаимодействия реальных зарядов с учетом наведенных на металле зарядов рассчитывается только по трем реальным зарядам. Фиктивный заряд в сумму не включается, так как он находится вне области интегрирования поля (внутри проводника), а его поле лишь математически моделирует поля зарядов, наведенных на угле:
Метод поля. В теории поля [1,2,3] электростатическая энергия зарядов равна энергии поля этих зарядов во всем пространстве:
+
+
$$
+
W=\frac{\varepsilon\varepsilon_0}{2}\int E^2\,dV,
+
$$
+
+
где $E$ есть поле, создаваемое этими зарядами, а интеграл берется по всему пространству.
+
+
Из симметрии бесконечный металл вырезает четверть энергии во всем пространстве от той энергии, которую имеют четыре реальных заряда, если заряд-изображение в металле заменяем на реальный и металл убираем. Поэтому пишем для начальной электрической энергии системы с металлом
при $$\frac{m\upsilon_{0}^{2}}{2}\ge\frac{q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{16\pi\varepsilon_{0}d}$$
@@ -1,11 +1,13 @@
### Условие
### Условие
$7.4.10.$ Скорости трёх заряженных частиц массы m изображены на рисунке. Расстояние от каждой частицы до ребра металлического двугранного угла d. Заряды первых двух частиц, летящих в противоположных направлениях, равны –q, заряд третьей частицы q. Определите скорость этих частиц на большом расстоянии друг от друга.
$7.4.10.$ Скорости трёх заряженных частиц массы m изображены на рисунке. Расстояние от каждой частицы до ребра металлического двугранного угла d. Заряды первых двух частиц, летящих в противоположных направлениях, равны –q, заряд третьей частицы q. Определите скорость этих частиц на большом расстоянии друг от друга.
Металлическая поверхность двугранного угла является эквипотенциальной поверхностью с потенциалом $\Phi=0$. Чтобы удовлетворить это условие можно заменить влияние индуцированных на металле зарядов одним фиктивным зарядом $+q$, расположенным в четвертом квадранте.
Металлическая поверхность двугранного угла является эквипотенциальной поверхностью с потенциалом $\Phi=0$. Чтобы удовлетворить это условие можно заменить влияние индуцированных на металле зарядов одним фиктивным зарядом $+q$, расположенным в четвертом квадранте.
В точке нахождения заряда $-q$ в первом квадранте потенциал создается: реальным зарядом $+q$ из второго квадранта на расстоянии $d\sqrt{2}$, реальным зарядом $-q$ из третьего квадранта на расстоянии $2d$ и и фиктивным зарядом $+q$ на расстоянии $d\sqrt{2}$:
В точке нахождения заряда $-q$ в первом квадранте потенциал создается: реальным зарядом $+q$ из второго квадранта на расстоянии $d\sqrt{2}$, реальным зарядом $-q$ из третьего квадранта на расстоянии $2d$ и и фиктивным зарядом $+q$ на расстоянии $d\sqrt{2}$:
В точке нахождения заряда $+q$ во втором квадранте потенциал создается: двумя реальными зарядами $-q$ на расстоянии $d\sqrt{2}$ каждый и фиктивным зарядом $+q$ на расстоянии $2d$:
В точке нахождения заряда $+q$ во втором квадранте потенциал создается: двумя реальными зарядами $-q$ на расстоянии $d\sqrt{2}$ каждый и фиктивным зарядом $+q$ на расстоянии $2d$:
В точке нахождения заряда $-q$ в третьем квадранте в силу симметрии потенциал в точности равен потенциалу, как у заряда $-q$ из первого квадранта:
В точке нахождения заряда $-q$ в третьем квадранте в силу симметрии потенциал в точности равен потенциалу, как у заряда $-q$ из первого квадранта:
$$\Phi_{3}=\Phi_{1}$$
$$\Phi_{3}=\Phi_{1}$$
Энергия взаимодействия реальных зарядов с учетом наведенных на металле зарядов рассчитывается только по трем реальным зарядам. Фиктивный заряд в сумму не включается, так как он находится вне области интегрирования поля (внутри проводника), а его поле лишь математически моделирует поля зарядов, наведенных на угле:
Энергия взаимодействия реальных зарядов с учетом наведенных на металле зарядов рассчитывается только по трем реальным зарядам. Фиктивный заряд в сумму не включается, так как он находится вне области интегрирования поля (внутри проводника), а его поле лишь математически моделирует поля зарядов, наведенных на угле:
Метод поля. В теории поля [1,2,3] электростатическая энергия зарядов равна энергии поля этих зарядов во всем пространстве:
$$
W=\frac{\varepsilon\varepsilon_0}{2}\int E^2\,dV,
$$
где $E$ есть поле, создаваемое этими зарядами, а интеграл берется по всему пространству.
Из симметрии бесконечный металл вырезает четверть энергии во всем пространстве от той энергии, которую имеют четыре реальных заряда, если заряд-изображение в металле заменяем на реальный и металл убираем. Поэтому пишем для начальной электрической энергии системы с металлом
