Правка раздела «Решение»

igor правка от 29 июн. 2026 г., 07:06

правка #19405 предыдущая #19404 ← раньше

ru/3.4.13.md +6 −6

			### Условие

			$3.4.13^*.$ Пусть концы пружины (см. задачу $3.4.12$) перемещаются с разной частотой:

			$$
			x_1 = A\cos\omega_1 t,\quad x_2 = A\cos\omega_2 t.
			$$

			Как в этом случае меняется сила натяжения пружины со временем? Постройте график зависимости силы натяжения от времени в случае близких частот. Почему здесь можно говорить о биениях? Определите в случае неравных амплитуд и частот среднюю энергию пружины за большое время.

			### Решение

			По результатам задачи $3.4.12$:

			$$
			F=k\left(x_2-x_1\right),
			$$

			что по тригонометрии

			$$
			\cos\alpha-\cos\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\beta-\alpha}{2}
			$$

			дает

			$$
			F=2kA\sin\left(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t\right)\sin\left(\frac{\omega_2+\omega_1}{2}t\right).
			$$

			График зависимости силы натяжения от времени в случае близких частот:

			![\|1405x556, 50%](../../img/3.4.13/3.4.13a.png)

			Можно говорить о биениях, так как амплитуда колеблющейся функции меняется периодически.

		@@ -37,7 +37,7 @@Решение
			Закон для энергии

			$$
		−	E=\frac{k}{2}~~\left~~[A_2\cos(\omega_2 t)-A_1\cos(\omega_1 t)~~\right~~]^2.\tag{1}
		+	E=\frac{k}{2}\big[A_2\cos(\omega_2 t)-A_1\cos(\omega_1 t)\big]^2.\tag{1}
			$$

			Среднее значение $\langle E\rangle$ за большое время (для удобства можно считать при времени $t\to\infty$) есть среднее правой части формулы $(1)$. Правую часть разложим на слагаемые раскрытием квадрата и применим свойство, что среднее суммы равно сумме средних.

			$$
			\langle E\rangle=\langle E_1\rangle+\langle E_2\rangle+\langle E_3\rangle,
			$$

			где $\langle E_1\rangle,\langle E_1\rangle,\langle E_1\rangle$ есть слагаемые правой части $(2)$ после раскрытия квадрата.

		@@ -51,7 +51,7 @@Решение
			Первое слагаемое:

			$$
		−	\langle E_1\rangle=\langle\frac{k}{2}A_2^2\cos^2(\omega_2 t)\rangle
		+	\langle E_1\rangle=\left\langle\frac{k}{2}A_2^2\cos^2(\omega_2 t)\right\rangle
			$$

			равно

			$$
			\boxed{\langle E_1\rangle=\frac{k}{2}A_2^2\frac{1}{2}}
			$$

			(использовали, что среднее значение косинуса в квадрате равно $1/2$).

		@@ -65,7 +65,7 @@Решение
			Второе слагаемое:

			$$
		−	\langle E_2\rangle=\langle kA_2\cos(\omega_2 t)A_1\cos(\omega_1 t)\rangle
		+	\langle E_2\rangle=\big\langle kA_2\cos(\omega_2 t)A_1\cos(\omega_1 t)\big\rangle
			$$

			преобразуем с использованием тригонометрической формулы

			$$
			2\cos\alpha\cos\beta=\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)
			$$

		@@ -77,7 +77,7 @@Решение
			в

			$$
		−	\langle E_2\rangle=\langle\frac{k}{2}A_2A_1~~\left~~[\cos\big((\omega_2+\omega_1)t\big)+\cos\big((\omega_2-\omega_1)t\big)\right]\rangle.
		+	\langle E_2\rangle=\left\langle\frac{k}{2}A_2A_1\Big[\cos\big((\omega_2+\omega_1)t\big)+\cos\big((\omega_2-\omega_1)t\big)\Big]\right\rangle.
			$$

			Оно равно

			$$
			\boxed{\langle E_2\rangle=0.}
			$$

			(использовали свойство среднего суммы и что среднее значение косинуса равно $0$).

		@@ -91,7 +91,7 @@Решение
			Третье слагаемое:

			$$
		−	\langle E_3\rangle=\langle\frac{k}{2}A_1^2\cos^2(\omega_1 t)\rangle
		+	\langle E_3\rangle=\left\langle\frac{k}{2}A_1^2\cos^2(\omega_1 t)\right\rangle
			$$

			равно

			$$
			\boxed{\langle E_3\rangle=\frac{k}{2}A_1^2\frac{1}{2}}
			$$

			(использовали, что среднее значение косинуса в квадрате равно $1/2$).

		@@ -105,7 +105,7 @@Решение
			В итоге сложим слагаемые энергии в рамках в ответ

			$$
		−	\langle E\rangle=\frac{k}{4}[A_1^2+A_2^2].
		+	\langle E\rangle=\frac{k}{4}\left[A_1^2+A_2^2\right].
			$$


			#### Литература

			[1] И. Яковлев. Среднее значение функции. Материалы по физике. mathus.ru.

			[2] Зельдович Я.Б. Высшая математика для начинающих физиков и техников. ИТФ Ландау. 1982.

			[3] Г.Я. Мякишев. Расчёт цепей переменного тока с помощью векторных диаграмм. «Квант», 1976, №2.

			[4] И. Яковлев. Векторы в физике. mathus.ru.

			[5] И. Яковлев. Тригонометрические формулы. mathus.ru.


			#### Ответ

			$$
			F=2kA\sin\left(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t\right)\sin\left(\frac{\omega_2+\omega_1}{2}t\right).
			$$

			![\|1405x556, 50%](../../img/3.4.13/3.4.13a.png)

			Можно говорить о биениях, так как амплитуда колеблющейся функции меняется периодически.

			$$
			\langle E\rangle=\frac{k}{4}[A_1^2+A_2^2].
			$$
		ещё строк без изменений 26

	### Условие		### Условие

	$3.4.13^*.$ Пусть концы пружины (см. задачу $3.4.12$) перемещаются с разной частотой:		$3.4.13^*.$ Пусть концы пружины (см. задачу $3.4.12$) перемещаются с разной частотой:

	$$		$$
	x_1 = A\cos\omega_1 t,\quad x_2 = A\cos\omega_2 t.		x_1 = A\cos\omega_1 t,\quad x_2 = A\cos\omega_2 t.
	$$		$$

	Как в этом случае меняется сила натяжения пружины со временем? Постройте график зависимости силы натяжения от времени в случае близких частот. Почему здесь можно говорить о биениях? Определите в случае неравных амплитуд и частот среднюю энергию пружины за большое время.		Как в этом случае меняется сила натяжения пружины со временем? Постройте график зависимости силы натяжения от времени в случае близких частот. Почему здесь можно говорить о биениях? Определите в случае неравных амплитуд и частот среднюю энергию пружины за большое время.

	### Решение		### Решение

	По результатам задачи $3.4.12$:		По результатам задачи $3.4.12$:

	$$		$$
	F=k\left(x_2-x_1\right),		F=k\left(x_2-x_1\right),
	$$		$$

	что по тригонометрии		что по тригонометрии

	$$		$$
	\cos\alpha-\cos\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\beta-\alpha}{2}		\cos\alpha-\cos\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\beta-\alpha}{2}
	$$		$$

	дает		дает

	$$		$$
	F=2kA\sin\left(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t\right)\sin\left(\frac{\omega_2+\omega_1}{2}t\right).		F=2kA\sin\left(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t\right)\sin\left(\frac{\omega_2+\omega_1}{2}t\right).
	$$		$$

	График зависимости силы натяжения от времени в случае близких частот:		График зависимости силы натяжения от времени в случае близких частот:

	![\|1405x556, 50%](../../img/3.4.13/3.4.13a.png)		![\|1405x556, 50%](../../img/3.4.13/3.4.13a.png)

	Можно говорить о биениях, так как амплитуда колеблющейся функции меняется периодически.		Можно говорить о биениях, так как амплитуда колеблющейся функции меняется периодически.

	@@ -37,7 +37,7 @@Решение
	Закон для энергии		Закон для энергии

	$$		$$
	E=\frac{k}{2}~~\left~~[A_2\cos(\omega_2 t)-A_1\cos(\omega_1 t)~~\right~~]^2.\tag{1}		E=\frac{k}{2}\big[A_2\cos(\omega_2 t)-A_1\cos(\omega_1 t)\big]^2.\tag{1}
	$$		$$

	Среднее значение $\langle E\rangle$ за большое время (для удобства можно считать при времени $t\to\infty$) есть среднее правой части формулы $(1)$. Правую часть разложим на слагаемые раскрытием квадрата и применим свойство, что среднее суммы равно сумме средних.		Среднее значение $\langle E\rangle$ за большое время (для удобства можно считать при времени $t\to\infty$) есть среднее правой части формулы $(1)$. Правую часть разложим на слагаемые раскрытием квадрата и применим свойство, что среднее суммы равно сумме средних.

	$$		$$
	\langle E\rangle=\langle E_1\rangle+\langle E_2\rangle+\langle E_3\rangle,		\langle E\rangle=\langle E_1\rangle+\langle E_2\rangle+\langle E_3\rangle,
	$$		$$

	где $\langle E_1\rangle,\langle E_1\rangle,\langle E_1\rangle$ есть слагаемые правой части $(2)$ после раскрытия квадрата.		где $\langle E_1\rangle,\langle E_1\rangle,\langle E_1\rangle$ есть слагаемые правой части $(2)$ после раскрытия квадрата.

	@@ -51,7 +51,7 @@Решение
	Первое слагаемое:		Первое слагаемое:

	$$		$$
	\langle E_1\rangle=\langle\frac{k}{2}A_2^2\cos^2(\omega_2 t)\rangle		\langle E_1\rangle=\left\langle\frac{k}{2}A_2^2\cos^2(\omega_2 t)\right\rangle
	$$		$$

	равно		равно

	$$		$$
	\boxed{\langle E_1\rangle=\frac{k}{2}A_2^2\frac{1}{2}}		\boxed{\langle E_1\rangle=\frac{k}{2}A_2^2\frac{1}{2}}
	$$		$$

	(использовали, что среднее значение косинуса в квадрате равно $1/2$).		(использовали, что среднее значение косинуса в квадрате равно $1/2$).

	@@ -65,7 +65,7 @@Решение
	Второе слагаемое:		Второе слагаемое:

	$$		$$
	\langle E_2\rangle=\langle kA_2\cos(\omega_2 t)A_1\cos(\omega_1 t)\rangle		\langle E_2\rangle=\big\langle kA_2\cos(\omega_2 t)A_1\cos(\omega_1 t)\big\rangle
	$$		$$

	преобразуем с использованием тригонометрической формулы		преобразуем с использованием тригонометрической формулы

	$$		$$
	2\cos\alpha\cos\beta=\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)		2\cos\alpha\cos\beta=\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)
	$$		$$

	@@ -77,7 +77,7 @@Решение
	в		в

	$$		$$
	\langle E_2\rangle=\langle\frac{k}{2}A_2A_1~~\left~~[\cos\big((\omega_2+\omega_1)t\big)+\cos\big((\omega_2-\omega_1)t\big)\right]\rangle.		\langle E_2\rangle=\left\langle\frac{k}{2}A_2A_1\Big[\cos\big((\omega_2+\omega_1)t\big)+\cos\big((\omega_2-\omega_1)t\big)\Big]\right\rangle.
	$$		$$

	Оно равно		Оно равно

	$$		$$
	\boxed{\langle E_2\rangle=0.}		\boxed{\langle E_2\rangle=0.}
	$$		$$

	(использовали свойство среднего суммы и что среднее значение косинуса равно $0$).		(использовали свойство среднего суммы и что среднее значение косинуса равно $0$).

	@@ -91,7 +91,7 @@Решение
	Третье слагаемое:		Третье слагаемое:

	$$		$$
	\langle E_3\rangle=\langle\frac{k}{2}A_1^2\cos^2(\omega_1 t)\rangle		\langle E_3\rangle=\left\langle\frac{k}{2}A_1^2\cos^2(\omega_1 t)\right\rangle
	$$		$$

	равно		равно

	$$		$$
	\boxed{\langle E_3\rangle=\frac{k}{2}A_1^2\frac{1}{2}}		\boxed{\langle E_3\rangle=\frac{k}{2}A_1^2\frac{1}{2}}
	$$		$$

	(использовали, что среднее значение косинуса в квадрате равно $1/2$).		(использовали, что среднее значение косинуса в квадрате равно $1/2$).

	@@ -105,7 +105,7 @@Решение
	В итоге сложим слагаемые энергии в рамках в ответ		В итоге сложим слагаемые энергии в рамках в ответ

	$$		$$
	\langle E\rangle=\frac{k}{4}[A_1^2+A_2^2].		\langle E\rangle=\frac{k}{4}\left[A_1^2+A_2^2\right].
	$$		$$


	#### Литература		#### Литература

	[1] И. Яковлев. Среднее значение функции. Материалы по физике. mathus.ru.		[1] И. Яковлев. Среднее значение функции. Материалы по физике. mathus.ru.

	[2] Зельдович Я.Б. Высшая математика для начинающих физиков и техников. ИТФ Ландау. 1982.		[2] Зельдович Я.Б. Высшая математика для начинающих физиков и техников. ИТФ Ландау. 1982.

	[3] Г.Я. Мякишев. Расчёт цепей переменного тока с помощью векторных диаграмм. «Квант», 1976, №2.		[3] Г.Я. Мякишев. Расчёт цепей переменного тока с помощью векторных диаграмм. «Квант», 1976, №2.

	[4] И. Яковлев. Векторы в физике. mathus.ru.		[4] И. Яковлев. Векторы в физике. mathus.ru.

	[5] И. Яковлев. Тригонометрические формулы. mathus.ru.		[5] И. Яковлев. Тригонометрические формулы. mathus.ru.


	#### Ответ		#### Ответ

	$$		$$
	F=2kA\sin\left(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t\right)\sin\left(\frac{\omega_2+\omega_1}{2}t\right).		F=2kA\sin\left(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t\right)\sin\left(\frac{\omega_2+\omega_1}{2}t\right).
	$$		$$

	![\|1405x556, 50%](../../img/3.4.13/3.4.13a.png)		![\|1405x556, 50%](../../img/3.4.13/3.4.13a.png)

	Можно говорить о биениях, так как амплитуда колеблющейся функции меняется периодически.		Можно говорить о биениях, так как амплитуда колеблющейся функции меняется периодически.

	$$		$$
	\langle E\rangle=\frac{k}{4}[A_1^2+A_2^2].		\langle E\rangle=\frac{k}{4}[A_1^2+A_2^2].
	$$		$$
	ещё строк без изменений 26