2.4.20 | до правки #19666 | Решения Савченко

Условие

2.4.20^∗. Собака массы m привязана поводком длины L к саням массы M > m. В начальный момент собака находится рядом с санями. На какое наибольшее расстояние собака может сдвинуть сани за один рывок, если коэффициенты трения лап собаки и полозьев саней о горизонтальную поверхность одинаковы?

Решение

Ответ

Определим скорость собаки при пробеге ею расстояния 𝐿, в момент времени, когда поводок начинает натягиваться. Работа силы трения, которая в данном случае является движущей силой, равна изменению кинетической энергии собачки. μmgL=mU^2/2. U^2=2μgL. Можно найти скорость собаки и в момент времени, когда она начинает тянуть сани. Её усилия, по сути, распределяются на две массы, её собственную и массу саней. На основании закона сохранения энергии: mU^2=(m+M)u^2. u^2=mU^2/(M+m). Сила трения полозьев о снег и сила трения собачьих лап будут иметь противоположное направление. Сила трения лап собаки создаёт движение, а сила трения саней - наоборот, препятствует движению. mu^2/2=(M-m)μgx. x=m^2L/(M^2-m^2). P.S. Вычисления на фото.

Альтернативное решение

Определим что тут происходит.

(1) Вначале собака находится у саней, после начинает бежать кин. энергия порциями

(2) Собака добежала до L то есть соприкосновение с верёвкой саней $\Rightarrow$ уже рассматриваем систему (m + M) и следим за тем, когда $Ктр$К_{(m + M)} \rightarrow A_{тр}$$ .

Опишем теперь количественно всё это.

(1) $\frac{mv^{2}}{2} = \mu g \ell \Rightarrow v^2 = 2 \mu g \ell$

(2) Когда мистер собака соприкоснулась с санями у нас произошло изменение импульса в силу третьего закона Ньютона:

$или$mv = (m + M)w \ \ \ или \ \ \ w = \frac{mv}{m+M}$$

После уже $тр$K_{M + m} \rightarrow A_{тр}$$ , запишем это учитывая направления векторов трения мистера собака и саней:

$\frac{(m + M) w^2}{2} = (M - m )\mu g x$

$x = \frac{(m+M)}{2(M-m)\mu g} * \frac{m^2 v^2}{(m+M)^2} = \frac{m^2 \ell}{M^2 - M^2}$

Ответ

$\boxed{x = \frac{m^2 \ell}{M^2 - M^2}}$