Решение

1. Разгон собаки
Чтобы сдвинуть сани на максимальное расстояние, собака должна тянуть с максимально возможной силой. Эта сила ограничена силой трения покоя её лап о снег: $F = \mu m g$.
Пробегая расстояние $L$ до того момента, как поводок натянется, собака совершает работу $A = F L = \mu m g L$. По теореме об изменении кинетической энергии, эта работа переходит в кинетическую энергию собаки непосредственно перед рывком:
$$\frac{m v^2}{2} = \mu m g L \implies v^2 = 2\mu g L$$

2. Рывок (неупругий удар)
В момент натяжения поводка происходит рывок. Поскольку время этого взаимодействия пренебрежимо мало, импульсами внешних сил трения за это время можно пренебречь. Систему «собака + сани» можно считать замкнутой по горизонтали и применить закон сохранения импульса (абсолютно неупругий удар):
$$m v = (M + m) u \implies u = v \frac{m}{M + m}$$
где $u$ — общая скорость собаки и саней сразу после рывка.

3. Совместное движение и торможение
После рывка система движется как единое целое. Найдем результирующую силу, действующую на систему.
Сани тормозят силой трения скольжения $F_{\text{тр}} = \mu M g$ (направлена против движения). Собака же продолжает «грести» лапами, создавая максимальную силу тяги $F = \mu m g$ (направлена по движению).
Следовательно, результирующая тормозящая сила равна:
$$F_{\text{торм}} = \mu M g - \mu m g = \mu(M - m)g$$

Снова применим теорему об изменении кинетической энергии. Вся кинетическая энергия системы тратится на работу против этой результирующей тормозящей силы на искомом пути $x$:
$$\frac{(M + m) u^2}{2} = F_{\text{торм}} x = \mu(M - m)g x$$

4. Вычисление итогового расстояния
Выразим $x$ из последнего уравнения:
$$x = \frac{(M + m) u^2}{2 \mu(M - m)g}$$
Подставим выражение для скорости $u$:
$$x = \frac{(M + m)}{2 \mu(M - m)g} \left( v \frac{m}{M + m} \right)^2 = \frac{m^2 v^2}{2 \mu (M - m)(M + m) g}$$
Теперь подставим $v^2 = 2\mu g L$:
$$x = \frac{m^2 (2\mu g L)}{2 \mu (M^2 - m^2) g}$$
После сокращения $2\mu g$ получаем финальный ответ:
$$x = \frac{m^2 L}{M^2 - m^2}$$