| | | |
|  | |  |
| | | |
| Молекулу углекислого газа ($CO_2$) можно смоделировать как систему из трех тел: центрального атома массы $m$ (углерод) и двух крайних атомов массы $M$ (кислород), соединенных двумя одинаковыми пружинками с жесткостью $k$. | | Молекулу углекислого газа ($CO_2$) можно смоделировать как систему из трех тел: центрального атома массы $m$ (углерод) и двух крайних атомов массы $M$ (кислород), соединенных двумя одинаковыми пружинками с жесткостью $k$. |
| | | |
| #### 1. Переход в систему отсчета центра масс (Ц-систему) | | #### 1. Переход в систему отсчета центра масс (Ц-систему) |
| | | |
| Найдем скорость центра масс молекулы в лабораторной системе отсчета после того, как левому атому кислорода сообщили скорость $v$: | | Найдем скорость центра масс молекулы в лабораторной системе отсчета после того, как левому атому кислорода сообщили скорость $v$: |
| $$ V_{cm} = \frac{Mv}{2M + m} $$ | | $$ V_{cm} = \frac{Mv}{2M + m} $$ |
| | | |
| Перейдем в инерциальную Ц-систему. В ней скорости атомов сразу после толчка равны: | | Перейдем в инерциальную Ц-систему. В ней скорости атомов сразу после толчка равны: |
| - Скорость левого $O$: $v_1 = v - V_{cm} = \frac{v(M+m)}{2M+m}$ | | - Скорость левого $O$: $v_1 = v - V_{cm} = \frac{v(M+m)}{2M+m}$ |
| - Скорость центрального $C$: $v_c = 0 - V_{cm} = -\frac{Mv}{2M+m}$ | | - Скорость центрального $C$: $v_c = 0 - V_{cm} = -\frac{Mv}{2M+m}$ |
| - Скорость правого $O$: $v_2 = 0 - V_{cm} = -\frac{Mv}{2M+m}$ | | - Скорость правого $O$: $v_2 = 0 - V_{cm} = -\frac{Mv}{2M+m}$ |
| | | |
| #### 2. Разложение на нормальные моды | | #### 2. Разложение на нормальные моды |
| | | |
| Система из трех тел на одной прямой имеет $3$ степени свободы. Вычитая $1$ степень свободы, отвечающую за поступательное движение всей молекулы, получаем ровно $2$ внутренние степени свободы. Следовательно, любое внутреннее движение системы можно представить как суперпозицию строго двух независимых нормальных колебаний. Чтобы в каждой моде центр масс оставался неподвижным, они должны иметь следующий вид: | | Система из трех тел на одной прямой имеет $3$ степени свободы. Вычитая $1$ степень свободы, отвечающую за поступательное движение всей молекулы, получаем ровно $2$ внутренние степени свободы. Следовательно, любое внутреннее движение системы можно представить как суперпозицию строго двух независимых нормальных колебаний. Чтобы в каждой моде центр масс оставался неподвижным, они должны иметь следующий вид: |
| 1) Симметричная мода: крайние атомы движутся в противофазе со скоростями $u_1$ и $-u_1$, центральный атом покоится. Циклическая частота: $\omega_1 = \sqrt{\frac{k}{M}}$. | | 1) Симметричная мода: крайние атомы движутся в противофазе со скоростями $u_1$ и $-u_1$, центральный атом покоится. Циклическая частота: $\omega_1 = \sqrt{\frac{k}{M}}$. |
| 2) Асимметричная мода: крайние атомы движутся синхронно со скоростью $u_2$, центральный атом движется им навстречу со скоростью $u_c$. Циклическая частота (с учетом приведенной массы): $\omega_2 = \sqrt{\frac{k(2M+m)}{mM}}$. | | 2) Асимметричная мода: крайние атомы движутся синхронно со скоростью $u_2$, центральный атом движется им навстречу со скоростью $u_c$. Циклическая частота (с учетом приведенной массы): $\omega_2 = \sqrt{\frac{k(2M+m)}{mM}}$. |
| | | |
| #### 3. Определение начальных амплитуд мод | | #### 3. Определение начальных амплитуд мод |
| | | |
| Из принципа суперпозиции реальные начальные скорости в Ц-системе равны сумме скоростей мод. | | Из принципа суперпозиции реальные начальные скорости в Ц-системе равны сумме скоростей мод. |
| Для левого O: | | Для левого O: |
| $$ u_1 + u_2 = \frac{v(M+m)}{2M+m} $$ | | $$ u_1 + u_2 = \frac{v(M+m)}{2M+m} $$ |
| Для правого O: | | Для правого O: |
| $$ -u_1 + u_2 = -\frac{Mv}{2M+m} $$ | | $$ -u_1 + u_2 = -\frac{Mv}{2M+m} $$ |
| | | |
| Вычитая уравнения, находим начальную скорость для симметричной моды: | | Вычитая уравнения, находим начальную скорость для симметричной моды: |
| $$ 2u_1 = v \implies u_1 = \frac{v}{2} $$ | | $$ 2u_1 = v \implies u_1 = \frac{v}{2} $$ |
| Складывая уравнения, находим скорость крайних атомов для асимметричной моды: | | Складывая уравнения, находим скорость крайних атомов для асимметричной моды: |
| $$ u_2 = \frac{mv}{2(2M+m)} $$ | | $$ u_2 = \frac{mv}{2(2M+m)} $$ |
| Скорость центрального атома во второй моде равна его полной скорости в Ц-системе: | | Скорость центрального атома во второй моде равна его полной скорости в Ц-системе: |
| $$ u_c = -\frac{Mv}{2M+m} $$ | | $$ u_c = -\frac{Mv}{2M+m} $$ |
| | | |
| Амплитуда симметричной моды ($A_1$): | | Амплитуда симметричной моды ($A_1$): |
| Скорость сближения левого атома $O$ и атома $C$ в этой моде равна $v_{rel1} = u_1 = \frac{v}{2}$. | | Скорость сближения левого атома $O$ и атома $C$ в этой моде равна $v_{rel1} = u_1 = \frac{v}{2}$. |
| $$ A_1 = \frac{v_{rel1}}{\omega_1} = \frac{v}{2}\sqrt{\frac{M}{k}} $$ | | $$ A_1 = \frac{v_{rel1}}{\omega_1} = \frac{v}{2}\sqrt{\frac{M}{k}} $$ |
| | | |
| Амплитуда асимметричной моды ($A_2$): | | Амплитуда асимметричной моды ($A_2$): |
| Относительная скорость сближения левого атома $O$ и атома $C$ в этой моде: | | Относительная скорость сближения левого атома $O$ и атома $C$ в этой моде: |
| $$ v_{rel2} = u_2 - u_c = \frac{mv}{2(2M+m)} - \left(-\frac{Mv}{2M+m}\right) = \frac{v(m+2M)}{2(2M+m)} = \frac{v}{2} $$ | | $$ v_{rel2} = u_2 - u_c = \frac{mv}{2(2M+m)} - \left(-\frac{Mv}{2M+m}\right) = \frac{v(m+2M)}{2(2M+m)} = \frac{v}{2} $$ |
| $$ A_2 = \frac{v_{rel2}}{\omega_2} = \frac{v}{2}\sqrt{\frac{mM}{k(2M+m)}} $$ | | $$ A_2 = \frac{v_{rel2}}{\omega_2} = \frac{v}{2}\sqrt{\frac{mM}{k(2M+m)}} $$ |
| | | |
| #### 4. Максимальное сближение | | #### 4. Максимальное сближение |
| | | |
| Поскольку частоты $\omega_1$ и $\omega_2$ несоизмеримы, в некоторый момент времени фазы колебаний совпадут, и амплитуды сжатия левой пружинки от обеих мод сложатся. Максимальное сближение равно сумме амплитуд: | | Поскольку частоты $\omega_1$ и $\omega_2$ несоизмеримы, в некоторый момент времени фазы колебаний совпадут, и амплитуды сжатия левой пружинки от обеих мод сложатся. Максимальное сближение равно сумме амплитуд: |
| $$ \Delta x_{max} = A_1 + A_2 = \frac{v}{2}\sqrt{\frac{M}{k}} + \frac{v}{2}\sqrt{\frac{mM}{k(2M+m)}} $$ | | $$ \Delta x_{max} = A_1 + A_2 = \frac{v}{2}\sqrt{\frac{M}{k}} + \frac{v}{2}\sqrt{\frac{mM}{k(2M+m)}} $$ |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| | | |
| $$ \Delta x_{max} = \frac{v}{2}\sqrt{\frac{M}{k}} \left( 1 + \sqrt{\frac{m}{2M+m}} \right) $$ | | $$ \Delta x_{max} = \frac{v}{2}\sqrt{\frac{M}{k}} \left( 1 + \sqrt{\frac{m}{2M+m}} \right) $$ |
