Решение

Условие

$14.1.9.$ Космический объект приближается к Земле. Навстречу ему мчится самая быстрая земная космическая лаборатория. По измерениям радара лаборатории скорость сближения составляет $v = 100\,000$ км/с. Генерал с Земли утверждает, что если бы скорость радарного импульса измерялась классически (как $c-u$ и $c+u$), то полученная скорость совпала бы со скоростью сближения, наблюдаемой с Земли, которая отличается от $v$ на $0,01%$.

1. Насколько прав генерал?
2. Чему равна скорость объекта и лаборатории в системе «Земля»?

Решение

1. Анализ радарного импульса и парадокс генерала

Физически генерал ошибается: согласно второму постулату СТО, скорость света в вакууме строго равна $c$ для любого инерциального наблюдателя. Ученые в лаборатории измеряют скорость сближения $v$ через времена возвращения импульсов $\tau_1$ и $\tau_2$ абсолютно корректно:
$$v = c \frac{\tau_1 - \tau_2}{\tau_1 + \tau_2} = c \frac{k - 1}{k + 1}$$
где $k = \tau_1/\tau_2$ — отношение времен.

Однако интуиция генерала приводит к удивительному результату. Если применить к свету классический закон сложения скоростей (импульс удаляется со скоростью $c-u$ и возвращается со скоростью $c+u$, где $u$ — скорость лаборатории относительно Земли), то рассчитанная таким образом скорость $v'$ выразится как:
$$v' = \left(1 - \frac{u^2}{c^2}\right) \frac{v}{1 - \frac{vu}{c^2}}$$
Потрясающий факт заключается в том, что эта формула $v'$ **в точности совпадает** с истинной скоростью сближения объекта и лаборатории в системе отсчета «Земля»!

**Почему это не случайное совпадение?**
Секрет кроется в параметре $k$. При переходе от системы лаборатории к системе Земли оба интервала времени ($\tau_1$ и $\tau_2$) подвергаются одинаковому релятивистскому замедлению (умножаются на фактор Лоренца $\gamma$). Поскольку оба времени растягиваются пропорционально, их отношение $k$ остается **инвариантным**. Генерал использует неверные абсолютные значения классических скоростей, но при вычислениях эти ошибки идеально сокращаются. Математика геометрии пространства-времени скрыто исправляет ошибку генерала, выдавая верный релятивистский результат.

2. Расчет скорости лаборатории

По условию разница между земной скоростью сближения $v'$ и лабораторной $v$ составляет $0,01%$, то есть долю $\alpha = 10^{-4}$. Запишем их разность:
$$v' - v = \frac{v\left(1 - \frac{u^2}{c^2}\right)}{1 - \frac{uv}{c^2}} - v = v \frac{u(v - u)}{c^2 - uv} = \alpha v$$

Сокращаем $v$ и выражаем скорость лаборатории $u$. Учитывая, что $\alpha$ очень мало, с высокой степенью точности выполняется соотношение:
$$\frac{u(v - u)}{c^2 - uv} = \alpha \implies u \approx \frac{\alpha c^2}{v}$$

Подставляем известные значения ($c = 300\,000$ км/с, $v = 100\,000$ км/с):
$$u \approx \frac{10^{-4} \cdot (3 \cdot 10^5)^2}{10^5} = \frac{10^{-4} \cdot 9 \cdot 10^{10}}{10^5} = 90 \text{ км/с}$$
Эта скорость принадлежит самой быстрой земной космической лаборатории (что является колоссальным значением для человеческих технологий).

3. Расчет скорости объекта

Скорость объекта относительно Земли $v_0$ по релятивистскому закону сложения скоростей связана со скоростью лаборатории $u$ и их относительной скоростью сближения $v$ как:
$$v_0 = \frac{v - u}{1 - \frac{vu}{c^2}}$$

Учитывая, что $vu \ll c^2$ (знаменатель близок к единице), мы можем с огромной точностью использовать приближение:
$$v_0 \approx v - u = 100\,000 - 90 = 99\,910 \text{ км/с}$$