| @@ -1,36 +1,30 @@ |
| ### Условие |
| ### Условие |
| |
| |
| $14.1.9.$ [Вставьте условие задачи] |
| $14.1.9.$ «. . . Космический объект приближался к Земле. Навстречу ему мчалась самая быстрая космическая лаборатория. “Какова скорость сближения объекта и лаборатории?” — запросил с Земли генерал, руководитель встречи. |
| |
| “В системе Земли или нашей лаборатории?” — отозвался оператор лаборатории. “Какая разница”, — ответил генерал. “Эти скорости уже отличаются на 0,01 %, — неслось из космоса. — Сейчас мы достигли скорости сближения ровно 100 000 км/с в нашей системе и больше мы ее не меняем”. “Как измеряете скорость?” — спросил генерал. “Так же, как и вы, мы установили пассивную связь с объектом. Радарный импульс постоянно курсирует между нами и объектом, отражаясь попеременно то от нашей лаборатории, то от объекта. Скорость сближения определяется по изменению времени возвращения импульса”. “Это верно, когда радарный импульс и удаляется, и приближается к лаборатории со скоростью, равной скорости света, — подумал генерал. — Тогда скорость приближения объекта определяется только отношением двух соседних времен. Но у них не так. Когда они догоняют отраженный импульс, скорость импульса c уменьшается на величину скорости лаборатории и на столько же увеличивается, когда импульс летит навстречу”. Неожиданно для себя генерал спросил у оператора: “Какая скорость сближения получилась бы у вас, если бы мы сообщили с Земли наблюдаемые нами скорости импульса по отношению к лаборатории и вы воспользовались бы этими величинами для расчета скорости объекта по времени возвращения импульса? Наверняка, ту же самую, что мы видели с Земли”. “Да, генерал,” — со скоростью света полетел ответ на Землю. У генерала мелькнула мысль: “Лукавят физики. Просто не могут измерить скорость импульса. Нет масштаба. И принимают ее равной скорости света. Отсюда — все несовпадения”». |
| |
| Этот отрывок из еще неопубликованного научно-фантастического рассказа вызвал следующие вопросы. Насколько прав генерал? Чему равна скорость объекта и лаборатории в системе «Земля»? |
| |
| |
| ### Решение |
| ### Решение |
| |
| |
| ### Условие |
| |
| |
| |
| $14.1.9.$ Космический объект приближается к Земле. Навстречу ему мчится самая быстрая земная космическая лаборатория. По измерениям радара лаборатории скорость сближения составляет $v = 100\,000$ км/с. Генерал с Земли утверждает, что если бы скорость радарного импульса измерялась классически (как $c-u$ и $c+u$), то полученная скорость совпала бы со скоростью сближения, наблюдаемой с Земли, которая отличается от $v$ на $0,01\%$. |
| |
| 1. Насколько прав генерал? |
| |
| 2. Чему равна скорость объекта и лаборатории в системе «Земля»? |
| |
| |
| |
| ### Решение |
| |
| |
| |
| #### 1. Анализ радарного импульса и парадокс генерала |
| #### 1. Анализ радарного импульса и парадокс генерала |
| |
| |
| Физически генерал ошибается: согласно второму постулату СТО, скорость света в вакууме строго равна $c$ для любого инерциального наблюдателя. Ученые в лаборатории измеряют скорость сближения $v$ через времена возвращения импульсов $\tau_1$ и $\tau_2$ абсолютно корректно: |
| Физически генерал ошибается: согласно второму постулату СТО, скорость света в вакууме строго равна $c$ для любого инерциального наблюдателя. Ученые в лаборатории измеряют скорость сближения $v$ через времена возвращения импульсов $\tau_1$ и $\tau_2$ абсолютно корректно: |
| $$ v = c \frac{\tau_1 - \tau_2}{\tau_1 + \tau_2} = c \frac{k - 1}{k + 1} $$ |
| $$ v = c \frac{\tau_1 - \tau_2}{\tau_1 + \tau_2} = c \frac{k - 1}{k + 1} $$ |
| где $k = \tau_1/\tau_2$ — отношение времен. |
| где $k = \tau_1/\tau_2$ — отношение времен. |
| |
| |
| Однако интуиция генерала приводит к удивительному результату. Если применить к свету классический закон сложения скоростей (импульс удаляется со скоростью $c-u$ и возвращается со скоростью $c+u$, где $u$ — скорость лаборатории относительно Земли), то рассчитанная таким образом скорость $v'$ выразится как: |
| Однако интуиция генерала приводит к удивительному результату. Если применить к свету классический закон сложения скоростей (импульс удаляется со скоростью $c-u$ и возвращается со скоростью $c+u$, где $u$ — скорость лаборатории относительно Земли), то рассчитанная таким образом скорость $v'$ выразится как: |
| $$ v' = \left(1 - \frac{u^2}{c^2}\right) \frac{v}{1 - \frac{vu}{c^2}} $$ |
| $$ v' = \left(1 - \frac{u^2}{c^2}\right) \frac{v}{1 - \frac{vu}{c^2}} $$ |
| Потрясающий факт заключается в том, что эта формула $v'$ **в точности совпадает** с истинной скоростью сближения объекта и лаборатории в системе отсчета «Земля»! |
| Потрясающий факт заключается в том, что эта формула $v'$ в точности совпадает с истинной скоростью сближения объекта и лаборатории в системе отсчета «Земля»! |
| |
| |
| **Почему это не случайное совпадение?** |
| Почему это не случайное совпадение? |
| Секрет кроется в параметре $k$. При переходе от системы лаборатории к системе Земли оба интервала времени ($\tau_1$ и $\tau_2$) подвергаются одинаковому релятивистскому замедлению (умножаются на фактор Лоренца $\gamma$). Поскольку оба времени растягиваются пропорционально, их отношение $k$ остается **инвариантным**. Генерал использует неверные абсолютные значения классических скоростей, но при вычислениях эти ошибки идеально сокращаются. Математика геометрии пространства-времени скрыто исправляет ошибку генерала, выдавая верный релятивистский результат. |
| Секрет кроется в параметре $k$. При переходе от системы лаборатории к системе Земли оба интервала времени ($\tau_1$ и $\tau_2$) подвергаются одинаковому релятивистскому замедлению (умножаются на фактор Лоренца $\gamma$). Поскольку оба времени растягиваются пропорционально, их отношение $k$ остается инвариантным. Генерал использует неверные абсолютные значения классических скоростей, но при вычислениях эти ошибки идеально сокращаются. Математика геометрии пространства-времени скрыто исправляет ошибку генерала, выдавая верный релятивистский результат. |
| |
| |
| #### 2. Расчет скорости лаборатории |
| #### 2. Расчет скорости лаборатории |
| |
| |
| По условию разница между земной скоростью сближения $v'$ и лабораторной $v$ составляет $0,01\%$, то есть долю $\alpha = 10^{-4}$. Запишем их разность: |
| По условию разница между земной скоростью сближения $v'$ и лабораторной $v$ составляет $0,01\%$, то есть долю $\alpha = 10^{-4}$. Запишем их разность: |
| $$ v' - v = \frac{v\left(1 - \frac{u^2}{c^2}\right)}{1 - \frac{uv}{c^2}} - v = v \frac{u(v - u)}{c^2 - uv} = \alpha v $$ |
| $$ v' - v = \frac{v\left(1 - \frac{u^2}{c^2}\right)}{1 - \frac{uv}{c^2}} - v = v \frac{u(v - u)}{c^2 - uv} = \alpha v $$ |
| |
| |
| Сокращаем $v$ и выражаем скорость лаборатории $u$. Учитывая, что $\alpha$ очень мало, с высокой степенью точности выполняется соотношение: |
| Сокращаем $v$ и выражаем скорость лаборатории $u$. Поскольку $\alpha = 10^{-4} \ll 1$, искомая скорость лаборатории крайне мала ($u \ll v$). Пренебрегая величиной $u$ по сравнению с $v$ в числителе и слагаемым $uv$ по сравнению с $c^2$ в знаменателе, упрощаем уравнение: |
| $$ \frac{u(v - u)}{c^2 - uv} = \alpha \implies u \approx \frac{\alpha c^2}{v} $$ |
| $$ \frac{u(v - u)}{c^2 - uv} = \alpha \implies u \approx \frac{\alpha c^2}{v} $$ |
| |
| |
| Подставляем известные значения ($c = 300\,000$ км/с, $v = 100\,000$ км/с): |
| Подставляем известные значения ($c = 300\,000$ км/с, $v = 100\,000$ км/с): |
| $$ u \approx \frac{10^{-4} \cdot (3 \cdot 10^5)^2}{10^5} = \frac{10^{-4} \cdot 9 \cdot 10^{10}}{10^5} = 90 \text{ км/с} $$ | | $$ u \approx \frac{10^{-4} \cdot (3 \cdot 10^5)^2}{10^5} = \frac{10^{-4} \cdot 9 \cdot 10^{10}}{10^5} = 90 \text{ км/с} $$ |
| Эта скорость принадлежит самой быстрой земной космической лаборатории (что является колоссальным значением для человеческих технологий). | | Эта скорость принадлежит самой быстрой земной космической лаборатории (что является колоссальным значением для человеческих технологий). |
| | | |
| #### 3. Расчет скорости объекта | | #### 3. Расчет скорости объекта |
| | | |
| Скорость объекта относительно Земли $v_0$ по релятивистскому закону сложения скоростей связана со скоростью лаборатории $u$ и их относительной скоростью сближения $v$ как: | | Скорость объекта относительно Земли $v_0$ по релятивистскому закону сложения скоростей связана со скоростью лаборатории $u$ и их относительной скоростью сближения $v$ как: |
| $$ v_0 = \frac{v - u}{1 - \frac{vu}{c^2}} $$ | | $$ v_0 = \frac{v - u}{1 - \frac{vu}{c^2}} $$ |
| | | |
| Учитывая, что $vu \ll c^2$ (знаменатель близок к единице), мы можем с огромной точностью использовать приближение: | | Учитывая, что $vu \ll c^2$ (знаменатель близок к единице), мы можем с огромной точностью использовать приближение: |
| $$ v_0 \approx v - u = 100\,000 - 90 = 99\,910 \text{ км/с} $$ | | $$ v_0 \approx v - u = 100\,000 - 90 = 99\,910 \text{ км/с} $$ |
| | | |
