Правка разделов «Условие», «Решение», «Случай 1: Удары следуют через период»
ru/3.5.3.md
+15 −19
| @@ -1,11 +1,5 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $3.5.3.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| − | |||
| − | ### Решение | ||
| − | |||
| − | ### Условие | ||
| − | |||
| $3.5.3^*.$ В условиях задачи 3.5.1 маятник имел в нулевой момент скорость $v_0$ и координату $x_0$. Какой будет амплитуда колебаний после $n$ ударов, если первый из них произошел в нулевой момент? Постройте фазовый портрет. | |||
| *(Примечание: в ответе задачника переданный импульс обозначен как $p$, а не $p_0$, как в условии 3.5.1. Для согласованности с авторским ответом далее используется обозначение $p$).* | |||
| ### Решение | |||
| Из задачи 3.5.2 известно, что гармоническому колебанию на фазовой плоскости с координатами $(x, \frac{p_{\text{имп}}}{m\omega})$ соответствует движение по окружности. Радиус этой окружности численно равен амплитуде колебаний $A$. | |||
| По теореме Пифагора амплитуда для любого состояния выражается как: | |||
| $$ A = \sqrt{x^2 + \left(\frac{p_{\text{имп}}}{m\omega}\right)^2} $$ | |||
| Важно учесть, что в момент кратковременного удара координата маятника $x$ измениться не успевает, а его импульс скачком увеличивается на величину переданного импульса $p$. | |||
| @@ -20,38 +14,42 @@Решение | |||
| Рассмотрим два случая частоты ударов. | |||
| − | |||
| + | #### Случай 1: Удары следуют через период $T_0$ | ||
| За время, равное периоду свободных колебаний $T_0 = 2\pi/\omega$, изображающая точка на фазовом портрете совершает полный оборот (поворот на $360^\circ$) и возвращается к тем же координатам. | |||
| − | 1. В нулевой момент времени ($t=0$) начальный импульс равен $mv_0$. Сразу после | ||
| + | 1. В нулевой момент времени ($t=0$) начальный импульс равен $mv_0$. Сразу после первого удара импульс становится: | ||
| $$ p_1 = mv_0 + p $$ | |||
| − | 2. К моменту второго удара (через время $T_0$) маятник совершает полное колебание и возвращается в точку с координатой $x_0$, а его импульс снова равен $p_1$. | ||
| + | 2. К моменту второго удара (через время $T_0$) маятник совершает полное колебание и возвращается в точку с координатой $x_0$, а его импульс снова равен $p_1$. Второй удар мгновенно добавляет еще один импульс $p$: | ||
| $$ p_2 = (mv_0 + p) + p = mv_0 + 2p $$ | |||
| − | 3. Поскольку каждый период система возвращается в исходное положение $x_0$, импульсы просто алгебраически накапливаются. Сразу после | ||
| + | 3. Поскольку каждый период система возвращается в исходное положение $x_0$, импульсы просто алгебраически накапливаются. Сразу после $n$-го удара суммарный импульс в этой точке составит: | ||
| $$ p_n = mv_0 + np $$ | |||
| 4. Подставляя координату $x_0$ и накопленный импульс $p_n$ в формулу амплитуды, получаем: | |||
| $$ A_n = \sqrt{x_0^2 + \left(\frac{mv_0 + np}{m\omega}\right)^2} = \sqrt{x_0^2 + \left(\frac{v_0}{\omega} + \frac{np}{m\omega}\right)^2} $$ | |||
| На фазовом портрете это движение выглядит как раскручивающаяся спираль, состоящая из концентрических дуг окружностей возрастающего радиуса. | |||
| − | **Случай 2: Удары следуют через полпериода $T_0/2$** | ||
| + |  | ||
| + | #### Случай 2: Удары следуют через полпериода $T_0/2$ | ||
| + | |||
| За время $T_0/2$ точка на фазовой плоскости совершает половину оборота (поворот на $180^\circ$). При этом обе координаты (и положение, и импульс) меняют знак на противоположный. | |||
| − | 1. | ||
| + | 1. Первый удар ($n=1$, нечетное): Происходит при $t=0$. Импульс скачком становится $p_1 = mv_0 + p$. Амплитуда после первого удара: | ||
| $$ A_1 = \sqrt{x_0^2 + \left(\frac{v_0}{\omega} + \frac{p}{m\omega}\right)^2} $$ | |||
| − | 2. | ||
| − | 3. | ||
| + | 2. Эволюция до второго удара: Через время $T_0/2$ обе координаты меняют знак. Положение становится $-x_0$, а импульс $-(mv_0 + p)$. | ||
| + | 3. Второй удар ($n=2$, четное): Наносится удар, добавляющий импульс $+p$. Вычисляем новый импульс: | ||
| $$ p_2 = -(mv_0 + p) + p = -mv_0 $$ | |||
| Рассчитаем амплитуду для этого состояния (с учетом координаты $-x_0$): | |||
| $$ A_2 = \sqrt{(-x_0)^2 + \left(\frac{-mv_0}{m\omega}\right)^2} = \sqrt{x_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2}} $$ | |||
| Маятник «сбрасывает» энергию удара и переходит на орбиту меньшего радиуса (амплитуда уменьшается). | |||
| − | 4. | ||
| − | 5. | ||
| + | 4. Эволюция до третьего удара: Через еще $T_0/2$ (итого прошел целый период $T_0$) координаты снова меняют знак: $-(-x_0) = x_0$ и $-(-mv_0) = mv_0$. Система вернулась в точности в свое исходное состояние (которое было до первого удара). | ||
| + | 5. Третий удар ($n=3$, нечетное): Снова добавляет импульс $p$ к исходному $mv_0$. Состояние становится полностью идентичным состоянию после первого удара, следовательно, $A_3 = A_1$. | ||
| Таким образом, для всех нечетных $n$ амплитуда равна $A_1$, а для всех четных $n$ она равна $A_2$. На фазовом портрете изображающая точка бесконечно прыгает между двумя замкнутыми полуокружностями (внешней и внутренней). | |||
| + |  | ||
| + | |||
| ### Ответ | |||
| Если удары следуют друг за другом через промежутки времени $T_0$, то амплитуда: | |||
| $$ A_n = \sqrt{\left[\frac{v_0}{\omega} + \frac{np}{m\omega}\right]^2 + x_0^2} $$ | |||
| Если через промежутки $T_0/2$, то амплитуда: | |||
| $$ A_n = \sqrt{\left[\frac{v_0}{\omega} + \frac{p}{m\omega}\right]^2 + x_0^2} \quad \text{для нечетных } n, $$ | |||
| @@ -61,6 +59,4 @@Ответ | |||
| $$ A_n = \sqrt{\frac{v_0^2}{\omega^2} + x_0^2} \quad \text{для четных } n, $$ | |||
| где $\omega = 2\pi/T_0$. | |||
| − | #### Ответ | ||
| − | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + |  | ||
| @@ -1,11 +1,5 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $3.5.3.$ [Вставьте условие задачи] | |||
| ### Решение | |||
| ### Условие | |||
| $3.5.3^*.$ В условиях задачи 3.5.1 маятник имел в нулевой момент скорость $v_0$ и координату $x_0$. Какой будет амплитуда колебаний после $n$ ударов, если первый из них произошел в нулевой момент? Постройте фазовый портрет. | $3.5.3^*.$ В условиях задачи 3.5.1 маятник имел в нулевой момент скорость $v_0$ и координату $x_0$. Какой будет амплитуда колебаний после $n$ ударов, если первый из них произошел в нулевой момент? Постройте фазовый портрет. | ||
| *(Примечание: в ответе задачника переданный импульс обозначен как $p$, а не $p_0$, как в условии 3.5.1. Для согласованности с авторским ответом далее используется обозначение $p$).* | *(Примечание: в ответе задачника переданный импульс обозначен как $p$, а не $p_0$, как в условии 3.5.1. Для согласованности с авторским ответом далее используется обозначение $p$).* | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Из задачи 3.5.2 известно, что гармоническому колебанию на фазовой плоскости с координатами $(x, \frac{p_{\text{имп}}}{m\omega})$ соответствует движение по окружности. Радиус этой окружности численно равен амплитуде колебаний $A$. | Из задачи 3.5.2 известно, что гармоническому колебанию на фазовой плоскости с координатами $(x, \frac{p_{\text{имп}}}{m\omega})$ соответствует движение по окружности. Радиус этой окружности численно равен амплитуде колебаний $A$. | ||
| По теореме Пифагора амплитуда для любого состояния выражается как: | По теореме Пифагора амплитуда для любого состояния выражается как: | ||
| $$ A = \sqrt{x^2 + \left(\frac{p_{\text{имп}}}{m\omega}\right)^2} $$ | $$ A = \sqrt{x^2 + \left(\frac{p_{\text{имп}}}{m\omega}\right)^2} $$ | ||
| Важно учесть, что в момент кратковременного удара координата маятника $x$ измениться не успевает, а его импульс скачком увеличивается на величину переданного импульса $p$. | Важно учесть, что в момент кратковременного удара координата маятника $x$ измениться не успевает, а его импульс скачком увеличивается на величину переданного импульса $p$. | ||
| @@ -20,38 +14,42 @@Решение | |||
| Рассмотрим два случая частоты ударов. | Рассмотрим два случая частоты ударов. | ||
| #### Случай 1: Удары следуют через период $T_0$ | |||
| За время, равное периоду свободных колебаний $T_0 = 2\pi/\omega$, изображающая точка на фазовом портрете совершает полный оборот (поворот на $360^\circ$) и возвращается к тем же координатам. | За время, равное периоду свободных колебаний $T_0 = 2\pi/\omega$, изображающая точка на фазовом портрете совершает полный оборот (поворот на $360^\circ$) и возвращается к тем же координатам. | ||
| 1. В нулевой момент времени ($t=0$) начальный импульс равен $mv_0$. Сразу после |
1. В нулевой момент времени ($t=0$) начальный импульс равен $mv_0$. Сразу после первого удара импульс становится: | ||
| $$ p_1 = mv_0 + p $$ | $$ p_1 = mv_0 + p $$ | ||
| 2. К моменту второго удара (через время $T_0$) маятник совершает полное колебание и возвращается в точку с координатой $x_0$, а его импульс снова равен $p_1$. |
2. К моменту второго удара (через время $T_0$) маятник совершает полное колебание и возвращается в точку с координатой $x_0$, а его импульс снова равен $p_1$. Второй удар мгновенно добавляет еще один импульс $p$: | ||
| $$ p_2 = (mv_0 + p) + p = mv_0 + 2p $$ | $$ p_2 = (mv_0 + p) + p = mv_0 + 2p $$ | ||
| 3. Поскольку каждый период система возвращается в исходное положение $x_0$, импульсы просто алгебраически накапливаются. Сразу после |
3. Поскольку каждый период система возвращается в исходное положение $x_0$, импульсы просто алгебраически накапливаются. Сразу после $n$-го удара суммарный импульс в этой точке составит: | ||
| $$ p_n = mv_0 + np $$ | $$ p_n = mv_0 + np $$ | ||
| 4. Подставляя координату $x_0$ и накопленный импульс $p_n$ в формулу амплитуды, получаем: | 4. Подставляя координату $x_0$ и накопленный импульс $p_n$ в формулу амплитуды, получаем: | ||
| $$ A_n = \sqrt{x_0^2 + \left(\frac{mv_0 + np}{m\omega}\right)^2} = \sqrt{x_0^2 + \left(\frac{v_0}{\omega} + \frac{np}{m\omega}\right)^2} $$ | $$ A_n = \sqrt{x_0^2 + \left(\frac{mv_0 + np}{m\omega}\right)^2} = \sqrt{x_0^2 + \left(\frac{v_0}{\omega} + \frac{np}{m\omega}\right)^2} $$ | ||
| На фазовом портрете это движение выглядит как раскручивающаяся спираль, состоящая из концентрических дуг окружностей возрастающего радиуса. | На фазовом портрете это движение выглядит как раскручивающаяся спираль, состоящая из концентрических дуг окружностей возрастающего радиуса. | ||
| **Случай 2: Удары следуют через полпериода $T_0/2$** |  | ||
| #### Случай 2: Удары следуют через полпериода $T_0/2$ | |||
| За время $T_0/2$ точка на фазовой плоскости совершает половину оборота (поворот на $180^\circ$). При этом обе координаты (и положение, и импульс) меняют знак на противоположный. | За время $T_0/2$ точка на фазовой плоскости совершает половину оборота (поворот на $180^\circ$). При этом обе координаты (и положение, и импульс) меняют знак на противоположный. | ||
| 1. |
1. Первый удар ($n=1$, нечетное): Происходит при $t=0$. Импульс скачком становится $p_1 = mv_0 + p$. Амплитуда после первого удара: | ||
| $$ A_1 = \sqrt{x_0^2 + \left(\frac{v_0}{\omega} + \frac{p}{m\omega}\right)^2} $$ | $$ A_1 = \sqrt{x_0^2 + \left(\frac{v_0}{\omega} + \frac{p}{m\omega}\right)^2} $$ | ||
| 2. |
2. Эволюция до второго удара: Через время $T_0/2$ обе координаты меняют знак. Положение становится $-x_0$, а импульс $-(mv_0 + p)$. | ||
| 3. |
3. Второй удар ($n=2$, четное): Наносится удар, добавляющий импульс $+p$. Вычисляем новый импульс: | ||
| $$ p_2 = -(mv_0 + p) + p = -mv_0 $$ | $$ p_2 = -(mv_0 + p) + p = -mv_0 $$ | ||
| Рассчитаем амплитуду для этого состояния (с учетом координаты $-x_0$): | Рассчитаем амплитуду для этого состояния (с учетом координаты $-x_0$): | ||
| $$ A_2 = \sqrt{(-x_0)^2 + \left(\frac{-mv_0}{m\omega}\right)^2} = \sqrt{x_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2}} $$ | $$ A_2 = \sqrt{(-x_0)^2 + \left(\frac{-mv_0}{m\omega}\right)^2} = \sqrt{x_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2}} $$ | ||
| Маятник «сбрасывает» энергию удара и переходит на орбиту меньшего радиуса (амплитуда уменьшается). | Маятник «сбрасывает» энергию удара и переходит на орбиту меньшего радиуса (амплитуда уменьшается). | ||
| 4. |
4. Эволюция до третьего удара: Через еще $T_0/2$ (итого прошел целый период $T_0$) координаты снова меняют знак: $-(-x_0) = x_0$ и $-(-mv_0) = mv_0$. Система вернулась в точности в свое исходное состояние (которое было до первого удара). | ||
| 5. |
5. Третий удар ($n=3$, нечетное): Снова добавляет импульс $p$ к исходному $mv_0$. Состояние становится полностью идентичным состоянию после первого удара, следовательно, $A_3 = A_1$. | ||
| Таким образом, для всех нечетных $n$ амплитуда равна $A_1$, а для всех четных $n$ она равна $A_2$. На фазовом портрете изображающая точка бесконечно прыгает между двумя замкнутыми полуокружностями (внешней и внутренней). | Таким образом, для всех нечетных $n$ амплитуда равна $A_1$, а для всех четных $n$ она равна $A_2$. На фазовом портрете изображающая точка бесконечно прыгает между двумя замкнутыми полуокружностями (внешней и внутренней). | ||
|  | |||
| ### Ответ | ### Ответ | ||
| Если удары следуют друг за другом через промежутки времени $T_0$, то амплитуда: | Если удары следуют друг за другом через промежутки времени $T_0$, то амплитуда: | ||
| $$ A_n = \sqrt{\left[\frac{v_0}{\omega} + \frac{np}{m\omega}\right]^2 + x_0^2} $$ | $$ A_n = \sqrt{\left[\frac{v_0}{\omega} + \frac{np}{m\omega}\right]^2 + x_0^2} $$ | ||
| Если через промежутки $T_0/2$, то амплитуда: | Если через промежутки $T_0/2$, то амплитуда: | ||
| $$ A_n = \sqrt{\left[\frac{v_0}{\omega} + \frac{p}{m\omega}\right]^2 + x_0^2} \quad \text{для нечетных } n, $$ | $$ A_n = \sqrt{\left[\frac{v_0}{\omega} + \frac{p}{m\omega}\right]^2 + x_0^2} \quad \text{для нечетных } n, $$ | ||
| @@ -61,6 +59,4 @@Ответ | |||
| $$ A_n = \sqrt{\frac{v_0^2}{\omega^2} + x_0^2} \quad \text{для четных } n, $$ | $$ A_n = \sqrt{\frac{v_0^2}{\omega^2} + x_0^2} \quad \text{для четных } n, $$ | ||
| где $\omega = 2\pi/T_0$. | где $\omega = 2\pi/T_0$. | ||
| #### Ответ |  | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | |||