Решение

1. Физическая модель и метод электростатических изображений

В задачах подобного класса по умолчанию предполагается, что металлические грани прямого угла уходят в бесконечность. Это позволяет пренебречь краевыми эффектами и считать всю поверхность угла строго эквипотенциальной с нулевым потенциалом ($\Phi = 0$, привязанным к бесконечности).

Металлический двугранный угол занимает ровно одну четверть пространства. Три наших реальных заряда летят в оставшемся пустом пространстве. Чтобы учесть влияние индуцированных на металле зарядов, применим метод электростатических изображений: мысленно уберем металлический угол и заменим его такими фиктивными зарядами, чтобы потенциал на месте бывших стенок всё равно остался нулевым.

Здесь применяется изящная геометрическая хитрость: три исходных заряда уже образуют три вершины квадрата со стороной $a = d\sqrt{2}$ и диагональю $2d$. Чтобы занулить потенциал на границах угла, достаточно поместить всего один фиктивный заряд $+q$ в пустующую четвертую вершину квадрата (в ту область, где находился металл).

Конфигурация из четырех зарядов по углам квадрата с чередующимися знаками ($-q, +q, -q, +q$) создает строго нулевой потенциал на своих средних линиях (осях симметрии, проходящих через середины противоположных сторон). Именно эти средние линии идеально совпадают с границами нашего металлического угла.

Согласно теореме единственности в электростатике, для однозначного определения поля достаточно обеспечить правильное граничное условие ($\Phi = 0$ на стенках). Так как граница занулена, электрическое поле только в области реальных зарядов (в трех пустых квадрантах) будет абсолютно тождественно полю вакуумной конфигурации. Тот факт, что в воображаемой вакуумной модели потенциал за границей (в зоне фиктивного заряда) не равен нулю, не имеет значения — в реальности там находится толща проводника, электростатическое поле внутри которого строго равно нулю по определению.

2. Энергия электрического поля

Ключевое отличие реальной системы от вакуумного «квадрата» состоит в том, что в реальности электрическое поле существует только в трех свободных квадрантах пространства. Внутри идеального проводника (в четвертом квадранте) макроскопического электростатического поля нет.

Так как энергия локализована непосредственно в пространстве поля, а конфигурация полей в вакуумном эквиваленте полностью симметрична по четырем квадрантам, начальная энергия взаимодействия реальной системы $W_0$ составляет ровно $3/4$ от полной энергии вакуумной конфигурации $W_{\text{vac}}$:
$$W_0 = \frac{3}{4} W_{\text{vac}}$$

Вычислим $W_{\text{vac}}$ для четырех зарядов. Энергия складывается из взаимодействия по четырем сторонам квадрата (заряды разноименные, расстояние $d\sqrt{2}$) и двум диагоналям (заряды одноименные, расстояние $2d$):
$$W_{\text{vac}} = 4 \left( \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{(+q)(-q)}{d\sqrt{2}} \right) + 2 \left( \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q^2}{2d} \right)$$
$$W_{\text{vac}} = -\frac{4q^2}{4\pi\varepsilon_0 d\sqrt{2}} + \frac{2q^2}{4\pi\varepsilon_0 (2d)} = \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 d} \left( 1 - 2\sqrt{2} \right)$$

Тогда начальная электрическая энергия нашей реальной системы:
$$W_0 = \frac{3}{4} \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 d} (1 - 2\sqrt{2}) = -\frac{3q^2(2\sqrt{2} - 1)}{16\pi\varepsilon_0 d}$$

3. Кинематика и закон сохранения энергии

Принципиально важно: фиктивный заряд $+q$ не обладает массой, это исключительно математический инструмент для расчета поля. Кинематика системы описывается строго для трех реальных частиц массой $m$.

Из-за симметрии кулоновские силы, действующие на каждый из зарядов, направлены строго радиально к вершине угла. Частицы будут синхронно разлетаться, сохраняя форму растущего квадрата. На бесконечности потенциальная энергия поля обратится в нуль, а скорости всех трех частиц станут равны $v$.

Запишем закон сохранения энергии:
$$3 \frac{mv_0^2}{2} + W_0 = 3 \frac{mv^2}{2}$$
$$3 \frac{mv_0^2}{2} - \frac{3q^2(2\sqrt{2} - 1)}{16\pi\varepsilon_0 d} = 3 \frac{mv^2}{2}$$

Разделим уравнение на 3:
$$\frac{mv_0^2}{2} - \frac{q^2(2\sqrt{2} - 1)}{16\pi\varepsilon_0 d} = \frac{mv^2}{2}$$
$$v^2 = v_0^2 - \frac{q^2(2\sqrt{2} - 1)}{8\pi\varepsilon_0 m d}$$
$$v = \sqrt{ v_0^2 - \frac{q^2(2\sqrt{2} - 1)}{8\pi\varepsilon_0 m d} }$$

*Примечание: Разлет частиц на бесконечность возможен при условии, что начальная кинетическая энергия достаточна для преодоления кулоновского притяжения системы (подкоренное выражение $\geqslant 0$).*