3.1.1 | до правки #19986 | Решения Савченко

Условие

3.1.1. Посередине натянутой струны длины $$2l$$ закреплен шар. Какая суммарная сила действует на шар со стороны струны, если поперечное смещение его из положения равновесия $x \ll l$ , а сила натяжения струны $$F$$ не зависит от смещения? Почему при малых смещениях можно считать зависимость силы, действующей на шар, от $$x$$ линейной? Как направлена эта сила по отношению к смещению? Найдите, как зависит потенциальная энергия шара от малого смещения $$x$$ . Какова скорость шара при прохождении им положения равновесия, если его максимальное смещение равно $$x_0$$ ? Масса шара $$m$$ .

Решение

Помимо силы тяжести $$mg$$ на шар действуетсила натяжения струны $$F$$ , которая имеет вертикальную компоненту $$F'$$ :

$F'=-2F\cos\alpha =-2F\frac{x}{\sqrt{l^2+x^2}}\tag{1}$

Т.к. колебания малые, учтем, что $x\ll l$

$\frac{x}{\sqrt{l^2+x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{l^2}{x^2}}}$

Т.к. $x\ll l$ , то $\frac{l^2}{x^2} \gg 1$ :

$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{l^2}{x^2}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{l^2}{x^2}}}=\frac{x}{l}$

Подставляя в $$(1)$$

$\boxed{F'=-2F\frac{x}{l}}$

Найдём малое изменение энергии как

$dU=2F\cos\alpha dx=2F\sqrt{\frac{x}{l^2+x^2}}=2F\frac{x}{l}dx$

Далее, проинтегрируем $$dU$$ от $$0$$ до $$U$$

$U=\int_{0}^{U}dU=\int_{0}^{x}2F\frac{x}{l}dx=\boxed{\frac{Fx^2}{l}}$

Из закона сохранения энергии, получаем искомую скорость при максимальном смещении

$\frac{Fx_0^2}{l}=\frac{m\upsilon^2}{2}\Rightarrow \boxed{\upsilon =x_0\sqrt{\frac{2F}{ml}}}$

Ответ

$\upsilon =x_0\sqrt{\frac{2F}{ml}}$