Посередине натянутой струныдлины 2l закреплен шар. Какая суммарнаясила действует на шар со стороны струны,если поперечное смещение его из положенияравновесия x \ll l, а сила натяжения струны F не зависит от смещения? Почему при малых смещениях можно считатьзависимость силы, действующей на шар, от x линейной? Как направлена этасила по отношению к смещению? Найдите, как зависит потенциальная энергияшара от малого смещения x. Какова скорость шара при прохождении им положения равновесия, если его максимальное смещение равно x_0? Масса шара m.

Решение задач из Савченко О.Я.

Aliaksandr Melnichenka
October 2023

    <h3 id="back-link"><a href="/#3.1">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие </h3>
    <p>
        $3.1.1.$ Посередине натянутой струны

длины $2l$ закреплен шар. Какая суммарная
сила действует на шар со стороны струны,
если поперечное смещение его из положения
равновесия $x \ll l$, а сила натяжения струны $F$ не зависит от смещения? Почему при малых смещениях можно считать
зависимость силы, действующей на шар, от $x$ линейной? Как направлена эта
сила по отношению к смещению? Найдите, как зависит потенциальная энергия
шара от малого смещения $x$. Какова скорость шара при прохождении им положения равновесия, если его максимальное смещение равно $x_0$? Масса шара $m$.

    <h3>Решение</h3>
    <p>
        Помимо силы тяжести $mg$ на шар действуетсила натяжения струны $F$, которая имеет вертикальную компоненту $F'$:

$$F'=-2Fcos\alpha=-2F\frac{x}{\sqrt{l^2+x^2}}\quad(1)$$
Т.к. колебания малые, учтем, что $x\ll l$
$$\frac{x}{\sqrt{l^2+x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{l^2}{x^2}}}$$
Т.к. $x\ll l$, то $\frac{l^2}{x^2} \gg 1$:
$$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{l^2}{x^2}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{l^2}{x^2}}}=\frac{x}{l}$$
Подставляя в $(1)$
$$\boxed{F'=-2F\frac{x}{l}}$$
Найдём малое изменение энергии как
$$dU=2Fcos\alpha dx=2F\sqrt{\frac{x}{l^2+x^2}}=2F\frac{x}{l}dx$$
Далее, проинтегрируем $dU$ от $0$ до $U$
$$U=\int_{0}^{U}dU=\int_{0}^{x}2F\frac{x}{l}dx=\boxed{\frac{Fx^2}{l}}$$
Из закона сохранения энергии, получаем искомую скорость при максимальном смещении
$$\frac{Fx_0^2}{l}=\frac{m\upsilon^2}{2}\Rightarrow \boxed{\upsilon=x_0\sqrt{\frac{2F}{ml}}}$$

    <h4>Ответ</h4>
    <p>
        $$\upsilon=x_0\sqrt{\frac{2F}{ml}}$$
    </p>
	<p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;">
      Dzikan Mikita<br>
    </p>


<footer class="row container">
  <br>
    <p>
        <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
    </p>
</footer>