$2.4.21.$ На гладком горизонтальном столе лежат два одинаковых бруска, соединенных пружиной жесткости $k$ и длины $l_{0}$. На левый брусок внезапно начинает действовать постоянная сила $F$, направленная вдоль пружины. Найдите минимальное и максимальное расстояния между брусками.
Проведем ось X вдоль стола сонаправленно с действием силы $\mathbf{F}$.
−
Поскольку на систему вдоль оси X никакие внешние силы, кроме силы $\mathbf{F}$, не действуют, то движение центра масс системы можно определить по второму закону Ньютона:
+
Проведем ось X вдоль стола сонаправленно с действием силы $\\mathbf{F}$.
+
Поскольку на систему вдоль оси X никакие внешние силы, кроме силы $\\mathbf{F}$, не действуют, то движение центра масс системы можно определить по второму закону Ньютона:
−
\begin{equation}
−
Ma = F
−
\end{equation}
+
$$
+
Ma = F
+
$$
где $M = 2m$ - масса системы. Отсюда ускорение, с которым движется центр масс системы:
−
\begin{equation}
−
a = \frac{F}{2m}
−
\end{equation}
+
$$
+
a = \\frac{F}{2m}
+
$$
Теперь рассмотрим относительное движение одного бруска по отношению к другому. Внутри системы действует сила упругости $k(x - l_0)$, где $x$ - текущее расстояние между брусками. Перейдём в систему отсчёта, движущуюся вместе с центром масс. Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось X для левого бруска:
−
\begin{equation}
−
m\ddot{x} = -k(x - l_0) + ma
−
\end{equation}
+
$$
+
m\\ddot{x} = -k(x - l_0) + ma
+
$$
Подставляя ускорение, получим:
−
\begin{equation}
−
m\ddot{x} = -k(x - l_0) + \frac{F}{2}
−
\end{equation}
+
$$
+
m\\ddot{x} = -k(x - l_0) + \\frac{F}{2}
+
$$
−
Введём относительную координату $\xi = x - l_0$ и перепишем наше уравнение движения:
+
Введём относительную координату $\\xi = x - l_0$ и перепишем наше уравнение движения:
−
\begin{equation}
−
m\ddot{\xi} = -k\xi + \frac{F}{2}
−
\end{equation}
+
$$
+
m\\ddot{\\xi} = -k\\xi + \\frac{F}{2}
+
$$
Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка, которое решается как сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Решение однородного уравнения известно:
−
\begin{equation}
−
\xi(t) = A \cos(\omega t + \varphi), \quad\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}
−
\end{equation}
+
$$
+
\\xi(t) = A \\cos(\\omega t + \\varphi), \\quad \\omega = \\sqrt{\\frac{k}{m}}
+
$$
−
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде $\xi_{part}(t) = D$, где $D$ - некоторая константа. Подставим частное решение в уравнение:
+
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде $\\xi_{part}(t) = D$, где $D$ - некоторая константа. Подставим частное решение в уравнение:
−
\begin{equation}
−
0 = -kD + \frac{F}{2}
−
\end{equation}
+
$$
+
0 = -kD + \\frac{F}{2}
+
$$
Откуда
−
\begin{equation}
−
D = \frac{F}{2k}
−
\end{equation}
+
$$
+
D = \\frac{F}{2k}
+
$$
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения:
−
\begin{equation}
−
\xi(t) = A \cos(\omega t + \varphi) + \frac{F}{2k}
−
\end{equation}
+
$$
+
\\xi(t) = A \\cos(\\omega t + \\varphi) + \\frac{F}{2k}
+
$$
−
Амплитуда и начальная фаза колебаний определяются начальными условиями. В начальный момент пружина не растянута $\xi(0) = 0$, и скорости тоже нет $\dot{\xi}(0) = 0$:
+
Амплитуда и начальная фаза колебаний определяются начальными условиями. В начальный момент пружина не растянута $\\xi(0) = 0$, и скорости тоже нет $\\dot{\\xi}(0) = 0$:
−
\begin{equation}
−
\dot{\xi}(t) = -\omega A \sin(\omega t + \varphi)
−
\end{equation}
+
$$
+
\\dot{\\xi}(t) = -\\omega A \\sin(\\omega t + \\varphi)
+
$$
Подставляя $t=0$, получаем:
−
\begin{equation}
−
0 = -\omega A \sin(\varphi)
−
\end{equation}
+
$$
+
0 = -\\omega A \\sin(\\varphi)
+
$$
−
Откуда $\varphi = 0$. Найдём амплитуду колебаний:
+
Откуда $\\varphi = 0$. Найдём амплитуду колебаний:
−
\begin{equation}
−
0 = A + \frac{F}{2k}
−
\end{equation}
+
$$
+
0 = A + \\frac{F}{2k}
+
$$
Откуда
−
\begin{equation}
−
A = -\frac{F}{2k}
−
\end{equation}
+
$$
+
A = -\\frac{F}{2k}
+
$$
Итак, решением дифференциального уравнения с начальными условиями будет:
$2.4.21.$ На гладком горизонтальном столе лежат два одинаковых бруска, соединенных пружиной жесткости $k$ и длины $l_{0}$. На левый брусок внезапно начинает действовать постоянная сила $F$, направленная вдоль пружины. Найдите минимальное и максимальное расстояния между брусками.
$2.4.21.$ На гладком горизонтальном столе лежат два одинаковых бруска, соединенных пружиной жесткости $k$ и длины $l_{0}$. На левый брусок внезапно начинает действовать постоянная сила $F$, направленная вдоль пружины. Найдите минимальное и максимальное расстояния между брусками.
Проведем ось X вдоль стола сонаправленно с действием силы $\mathbf{F}$.
Проведем ось X вдоль стола сонаправленно с действием силы $\\mathbf{F}$.
Поскольку на систему вдоль оси X никакие внешние силы, кроме силы $\mathbf{F}$, не действуют, то движение центра масс системы можно определить по второму закону Ньютона:
Поскольку на систему вдоль оси X никакие внешние силы, кроме силы $\\mathbf{F}$, не действуют, то движение центра масс системы можно определить по второму закону Ньютона:
\begin{equation}
$$
Ma = F
Ma = F
\end{equation}
$$
где $M = 2m$ - масса системы. Отсюда ускорение, с которым движется центр масс системы:
где $M = 2m$ - масса системы. Отсюда ускорение, с которым движется центр масс системы:
\begin{equation}
$$
a = \frac{F}{2m}
a = \\frac{F}{2m}
\end{equation}
$$
Теперь рассмотрим относительное движение одного бруска по отношению к другому. Внутри системы действует сила упругости $k(x - l_0)$, где $x$ - текущее расстояние между брусками. Перейдём в систему отсчёта, движущуюся вместе с центром масс. Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось X для левого бруска:
Теперь рассмотрим относительное движение одного бруска по отношению к другому. Внутри системы действует сила упругости $k(x - l_0)$, где $x$ - текущее расстояние между брусками. Перейдём в систему отсчёта, движущуюся вместе с центром масс. Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось X для левого бруска:
\begin{equation}
$$
m\ddot{x} = -k(x - l_0) + ma
m\\ddot{x} = -k(x - l_0) + ma
\end{equation}
$$
Подставляя ускорение, получим:
Подставляя ускорение, получим:
\begin{equation}
$$
m\ddot{x} = -k(x - l_0) + \frac{F}{2}
m\\ddot{x} = -k(x - l_0) + \\frac{F}{2}
\end{equation}
$$
Введём относительную координату $\xi = x - l_0$ и перепишем наше уравнение движения:
Введём относительную координату $\\xi = x - l_0$ и перепишем наше уравнение движения:
\begin{equation}
$$
m\ddot{\xi} = -k\xi + \frac{F}{2}
m\\ddot{\\xi} = -k\\xi + \\frac{F}{2}
\end{equation}
$$
Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка, которое решается как сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Решение однородного уравнения известно:
Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка, которое решается как сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Решение однородного уравнения известно:
\begin{equation}
$$
\xi(t) = A \cos(\omega t + \varphi), \quad\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}
\\xi(t) = A \\cos(\\omega t + \\varphi), \\quad \\omega = \\sqrt{\\frac{k}{m}}
\end{equation}
$$
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде $\xi_{part}(t) = D$, где $D$ - некоторая константа. Подставим частное решение в уравнение:
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде $\\xi_{part}(t) = D$, где $D$ - некоторая константа. Подставим частное решение в уравнение:
\begin{equation}
$$
0 = -kD + \frac{F}{2}
0 = -kD + \\frac{F}{2}
\end{equation}
$$
Откуда
Откуда
\begin{equation}
$$
D = \frac{F}{2k}
D = \\frac{F}{2k}
\end{equation}
$$
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения:
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения:
\begin{equation}
$$
\xi(t) = A \cos(\omega t + \varphi) + \frac{F}{2k}
\\xi(t) = A \\cos(\\omega t + \\varphi) + \\frac{F}{2k}
\end{equation}
$$
Амплитуда и начальная фаза колебаний определяются начальными условиями. В начальный момент пружина не растянута $\xi(0) = 0$, и скорости тоже нет $\dot{\xi}(0) = 0$:
Амплитуда и начальная фаза колебаний определяются начальными условиями. В начальный момент пружина не растянута $\\xi(0) = 0$, и скорости тоже нет $\\dot{\\xi}(0) = 0$:
\begin{equation}
$$
\dot{\xi}(t) = -\omega A \sin(\omega t + \varphi)
\\dot{\\xi}(t) = -\\omega A \\sin(\\omega t + \\varphi)
\end{equation}
$$
Подставляя $t=0$, получаем:
Подставляя $t=0$, получаем:
\begin{equation}
$$
0 = -\omega A \sin(\varphi)
0 = -\\omega A \\sin(\\varphi)
\end{equation}
$$
Откуда $\varphi = 0$. Найдём амплитуду колебаний:
Откуда $\\varphi = 0$. Найдём амплитуду колебаний:
\begin{equation}
$$
0 = A + \frac{F}{2k}
0 = A + \\frac{F}{2k}
\end{equation}
$$
Откуда
Откуда
\begin{equation}
$$
A = -\frac{F}{2k}
A = -\\frac{F}{2k}
\end{equation}
$$
Итак, решением дифференциального уравнения с начальными условиями будет:
Итак, решением дифференциального уравнения с начальными условиями будет:
