| @@ -1,13 +1,40 @@ |
| ### Условие |
| ### Условие |
| |
| |
| $2.8.43.$ Муравей решил утащить к муравейнику соломинку. Как ему следует поступить, если сила, с которой он может тянуть соломинку, несколько меньше максимальной силы трения покоя? |
| $2.8.43.$ Муравей решил утащить к муравейнику соломинку. Как ему следует поступить, если сила, с которой он может тянуть соломинку, несколько меньше максимальной силы трения покоя? |
| |
| |
| ### Решение и Ответ: |
| ### Решение |
| |
| |
| Когда муравей тянет соломинку за один конец вдоль её длины, возникает максимальная сила трения покоя $F_{тр}$, направленная против движения. Если сила муравья $F<F_{тр}$, соломинка не сдвинется с места. |
| #### Способ 1. |
| |
| |
| Однако если муравей будет приподнимать один конец соломинки, то сила трения уменьшится, так как сила нормальной реакции опоры $N$ станет меньше веса соломинки. В этом случае муравей сможет повернуть соломинку вокруг другого конца. |
| Когда муравей тянет соломинку за один конец вдоль её длины, возникает максимальная сила трения покоя $F_{\text{тр}} = \mu mg$, направленная против движения. Если сила муравья $F < F_{\text{тр}}$, соломинка не сдвинется с места при попытке тащить её поступательно. |
| |
| |
| Поступая так поочерёдно с разных концов и немного поворачивая соломинку, муравей постепенно переместит её в нужном направлении, не преодолевая максимальную силу трения покоя при скольжении по всей длине. |
| Однако если муравей будет приподнимать один конец соломинки, то сила нормальной реакции опоры $N$ на другом конце станет равна $mg/2$. Соответственно, сила трения на дальнем конце уменьшится в два раза. В этом случае муравей без труда сможет повернуть соломинку вокруг другого конца. |
| |
| |
| |
| Поступая так поочерёдно с разных концов и немного поворачивая соломинку, муравей постепенно переместит её в нужном направлении, не преодолевая полную максимальную силу трения покоя при скольжении по всей длине. |
| |
| |
| |
| #### Способ 2. |
| |
| |
| |
| Муравей может тащить соломинку поступательно, не вращая её, если будет тянуть не горизонтально, а под некоторым углом $\alpha$ к горизонту (вверх). |
| |
| |
| |
| Запишем условия равномерного движения соломинки (предельный случай): |
| |
| По оси $x$: $$F \cos\alpha = F_{\text{тр}}$$ |
| |
| По оси $y$: $$N + F \sin\alpha = mg \implies N = mg - F \sin\alpha$$ |
| |
| |
| |
| Сила трения скольжения: |
| |
| $$F_{\text{тр}} = \mu N = \mu (mg - F \sin\alpha)$$ |
| |
| |
| |
| Подставим это в уравнение для горизонтальной оси: |
| |
| $$F \cos\alpha = \mu mg - \mu F \sin\alpha$$ |
| |
| $$F (\cos\alpha + \mu \sin\alpha) = \mu mg$$ |
| |
| |
| |
| Отсюда выражаем силу $F$, необходимую для движения: |
| |
| $$F(\alpha) = \frac{\mu mg}{\cos\alpha + \mu \sin\alpha}$$ |
| |
| |
| |
| Чтобы муравью потребовалось приложить минимальную силу, знаменатель дроби должен быть максимальным. Найдем максимум функции $f(\alpha) = \cos\alpha + \mu \sin\alpha$. Взяв производную по $\alpha$ и приравняв к нулю, получим: |
| |
| $$-\sin\alpha + \mu \cos\alpha = 0 \implies \tan\alpha = \mu$$ |
| |
| |
| |
| При таком угле знаменатель равен $\sqrt{1 + \mu^2}$. Тогда минимально необходимая сила: |
| |
| $$F_{\text{min}} = \frac{\mu mg}{\sqrt{1 + \mu^2}}$$ |
| |
| |
| |
| Поскольку для любого $\mu > 0$ выполняется условие $\sqrt{1 + \mu^2} > 1$, то $F_{\text{min}} < \mu mg$. |
| |
| Таким образом, подобрав правильный угол $\alpha = \arctan(\mu)$, муравей сможет тащить соломинку прямо к муравейнику, даже если его сила несколько меньше $\mu mg$. |
