Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

Valter правка от 19 авг. 2026 г., 06:31

правка #20129 предыдущая #15709 ← раньше позже →

ru/2.4.1.md +26 −8

		@@ -1,19 +1,37 @@
			### Условие

		−	$2.4.1.$ Шарики массы m каждый, связанные нитью, движутся по окружности с постоянной скоростью v. Кинетическая энергия каждого шарика, равная mv^2/2, не меняется. Если перейти в систему отсчета, в которой середина нити движется в плоскости вращения прямолинейно со скоростью v, энергия каждого из шариков меняется от нуля до 4 (mv^2/2).
		+	$2.4.1.$ Шарики массы $m$ каждый, связанные нитью, движутся по окружности с постоянной скоростью $v$. Кинетическая энергия каждого шарика, равная $mv^2/2$, не меняется. Если перейти в систему отсчета, в которой середина нити движется в плоскости вращения прямолинейно со скоростью $v$, энергия каждого из шариков меняется от нуля до $4 (mv^2/2)$. Какая причина вызывает такое изменение энергии? Изменяется ли в указанной системе отсчета суммарная кинетическая энергия?

		−	1) Какая причина вызывает такое изменение энергии?
		−
		−	2) Изменяется ли в указанной системе отсчета суммарная кинетическая энергия?
			### Решение

		−	![К задаче $2.4.1$\|123x456, 50%](https://sun9-45.userapi.com/s/v1/ig2/DE9qavwm_rLijzn8VAmJLiCiTDRo5pztek0_nGfuZz9xNMA3t95_1hRoLkbTSdgVFkBucdH6YYt5zwxjwRiXhtfM.jpg?quality=95&as=32x24,48x36,72x54,108x81,160x120,240x180,360x270,480x359,540x404,640x479,685x513&from=bu&cs=685x0)
		+	1. Разберемся, почему меняется энергия одного шарика.
		+	В исходной системе отсчета (связанной с центром нити) шарик движется по окружности. Скорость шарика $\vec{v}_1$ всегда перпендикулярна силе натяжения нити $\vec{T}_1$. Мощность силы натяжения в этой системе отсчета равна нулю:
		+	$$P_1 = \vec{T}_1 \cdot \vec{v}_1 = 0$$
		+	Поэтому кинетическая энергия шарика не меняется.

		+	Перейдем в новую систему отсчета, которая движется с постоянной скоростью $\vec{u}$ (по модулю $\|\vec{u}\| = v$).
		+	По закону сложения скоростей, скорость шарика в новой СО равна $\vec{v}'_1 = \vec{v}_1 - \vec{u}$.
		+	Мощность силы натяжения в новой СО:
		+	$$P'_1 = \vec{T}_1 \cdot \vec{v}'_1 = \vec{T}_1 \cdot (\vec{v}_1 - \vec{u}) = \vec{T}_1 \cdot \vec{v}_1 - \vec{T}_1 \cdot \vec{u}$$
		+	Так как $\vec{T}_1 \cdot \vec{v}_1 = 0$, получаем:
		+	$$P'_1 = - \vec{T}_1 \cdot \vec{u}$$
		+	Поскольку вектор силы натяжения $\vec{T}_1$ постоянно вращается, угол между $\vec{T}_1$ и постоянным вектором $\vec{u}$ меняется. Следовательно, скалярное произведение $\vec{T}_1 \cdot \vec{u}$ отлично от нуля и меняет знак. Сила натяжения нити в новой системе отсчета совершает работу, что и приводит к колебаниям кинетической энергии каждого отдельного шарика.

		−	#### Ответ
		+	2. Выясним, меняется ли суммарная кинетическая энергия.
		+	Для нахождения полной кинетической энергии системы в новой СО удобнее всего воспользоваться теоремой Кёнига: кинетическая энергия системы равна сумме кинетической энергии движения центра масс и кинетической энергии относительного движения системы вокруг центра масс.
		+	$$E_k = E_{\text{отн}} + \frac{M_{\text{общ}} V_{\text{цм}}^2}{2}$$

		−	1) В движущейся системе отсчета сила натяжения совершает работу.
		+	В нашем случае:
		+	- Относительная кинетическая энергия (в СО центра нити) постоянна: $E_{\text{отн}} = \frac{mv^2}{2} + \frac{mv^2}{2} = mv^2$
		+	- Общая масса системы: $M_{\text{общ}} = 2m$
		+	- Скорость центра масс (середины нити) в новой СО по условию постоянна и равна $v$: $V_{\text{цм}} = v$.

		−	2) Нет.
		+	Подставляем в формулу:
		+	$$E_k = mv^2 + \frac{2m \cdot v^2}{2} = mv^2 + mv^2 = 2mv^2$$
		+	Как видно, итоговое выражение не содержит переменных, зависящих от времени или угла поворота. Суммарная кинетическая энергия системы в новой системе отсчета строго постоянна во времени.

		+	Примечание: изменение энергии каждого шарика происходит в противофазе, так как мощности сил натяжения равны $P'_1 = - \vec{T}_1 \cdot \vec{u}$ и $P'_2 = - \vec{T}_2 \cdot \vec{u}$. Поскольку нить невесома, $\vec{T}_1 = -\vec{T}_2$, откуда следует, что суммарная мощность внутренних сил $P'_1 + P'_2 = 0$. Работа просто перераспределяет энергию между шариками.

		+	#### Ответ
		+	1. В движущейся системе отсчета сила натяжения нити совершает работу над каждым шариком.
		+	2. Суммарная кинетическая энергия не изменяется.

	@@ -1,19 +1,37 @@
	### Условие		### Условие

	$2.4.1.$ Шарики массы m каждый, связанные нитью, движутся по окружности с постоянной скоростью v. Кинетическая энергия каждого шарика, равная mv^2/2, не меняется. Если перейти в систему отсчета, в которой середина нити движется в плоскости вращения прямолинейно со скоростью v, энергия каждого из шариков меняется от нуля до 4 (mv^2/2).		$2.4.1.$ Шарики массы $m$ каждый, связанные нитью, движутся по окружности с постоянной скоростью $v$. Кинетическая энергия каждого шарика, равная $mv^2/2$, не меняется. Если перейти в систему отсчета, в которой середина нити движется в плоскости вращения прямолинейно со скоростью $v$, энергия каждого из шариков меняется от нуля до $4 (mv^2/2)$. Какая причина вызывает такое изменение энергии? Изменяется ли в указанной системе отсчета суммарная кинетическая энергия?

	1) Какая причина вызывает такое изменение энергии?

	2) Изменяется ли в указанной системе отсчета суммарная кинетическая энергия?
	### Решение		### Решение

	![К задаче $2.4.1$\|123x456, 50%](https://sun9-45.userapi.com/s/v1/ig2/DE9qavwm_rLijzn8VAmJLiCiTDRo5pztek0_nGfuZz9xNMA3t95_1hRoLkbTSdgVFkBucdH6YYt5zwxjwRiXhtfM.jpg?quality=95&as=32x24,48x36,72x54,108x81,160x120,240x180,360x270,480x359,540x404,640x479,685x513&from=bu&cs=685x0)		1. Разберемся, почему меняется энергия одного шарика.
			В исходной системе отсчета (связанной с центром нити) шарик движется по окружности. Скорость шарика $\vec{v}_1$ всегда перпендикулярна силе натяжения нити $\vec{T}_1$. Мощность силы натяжения в этой системе отсчета равна нулю:
			$$P_1 = \vec{T}_1 \cdot \vec{v}_1 = 0$$
			Поэтому кинетическая энергия шарика не меняется.

			Перейдем в новую систему отсчета, которая движется с постоянной скоростью $\vec{u}$ (по модулю $\|\vec{u}\| = v$).
			По закону сложения скоростей, скорость шарика в новой СО равна $\vec{v}'_1 = \vec{v}_1 - \vec{u}$.
			Мощность силы натяжения в новой СО:
			$$P'_1 = \vec{T}_1 \cdot \vec{v}'_1 = \vec{T}_1 \cdot (\vec{v}_1 - \vec{u}) = \vec{T}_1 \cdot \vec{v}_1 - \vec{T}_1 \cdot \vec{u}$$
			Так как $\vec{T}_1 \cdot \vec{v}_1 = 0$, получаем:
			$$P'_1 = - \vec{T}_1 \cdot \vec{u}$$
			Поскольку вектор силы натяжения $\vec{T}_1$ постоянно вращается, угол между $\vec{T}_1$ и постоянным вектором $\vec{u}$ меняется. Следовательно, скалярное произведение $\vec{T}_1 \cdot \vec{u}$ отлично от нуля и меняет знак. Сила натяжения нити в новой системе отсчета совершает работу, что и приводит к колебаниям кинетической энергии каждого отдельного шарика.

	#### Ответ		2. Выясним, меняется ли суммарная кинетическая энергия.
			Для нахождения полной кинетической энергии системы в новой СО удобнее всего воспользоваться теоремой Кёнига: кинетическая энергия системы равна сумме кинетической энергии движения центра масс и кинетической энергии относительного движения системы вокруг центра масс.
			$$E_k = E_{\text{отн}} + \frac{M_{\text{общ}} V_{\text{цм}}^2}{2}$$

	1) В движущейся системе отсчета сила натяжения совершает работу.		В нашем случае:
			- Относительная кинетическая энергия (в СО центра нити) постоянна: $E_{\text{отн}} = \frac{mv^2}{2} + \frac{mv^2}{2} = mv^2$
			- Общая масса системы: $M_{\text{общ}} = 2m$
			- Скорость центра масс (середины нити) в новой СО по условию постоянна и равна $v$: $V_{\text{цм}} = v$.

	2) Нет.		Подставляем в формулу:
			$$E_k = mv^2 + \frac{2m \cdot v^2}{2} = mv^2 + mv^2 = 2mv^2$$
			Как видно, итоговое выражение не содержит переменных, зависящих от времени или угла поворота. Суммарная кинетическая энергия системы в новой системе отсчета строго постоянна во времени.

			Примечание: изменение энергии каждого шарика происходит в противофазе, так как мощности сил натяжения равны $P'_1 = - \vec{T}_1 \cdot \vec{u}$ и $P'_2 = - \vec{T}_2 \cdot \vec{u}$. Поскольку нить невесома, $\vec{T}_1 = -\vec{T}_2$, откуда следует, что суммарная мощность внутренних сил $P'_1 + P'_2 = 0$. Работа просто перераспределяет энергию между шариками.

			#### Ответ
			1. В движущейся системе отсчета сила натяжения нити совершает работу над каждым шариком.
			2. Суммарная кинетическая энергия не изменяется.