Правка разделов «Условие», «Решение»
ru/5.9.14.md
+25 −3
| @@ -1,9 +1,31 @@ | |||
| ### Условие | |||
| $5.9.14.$ Покажите, что КПД тепловой машины в циклическом процессе максимален, когда энтропия системы не меняется. | |||
| − | ### Решение | ||
| + | ### Решение | ||
| − |  | ||
| + | В условии задачи под «системой» подразумевается полная замкнутая термодинамическая система, включающая в себя рабочее тело тепловой машины, а также тепловые резервуары (нагреватель с температурой $T_1$ и холодильник с температурой $T_2$). | ||
| − |  | ||
| + | За один полный цикл рабочее тело возвращается в исходное состояние. Поскольку энтропия $S$ является функцией состояния, изменение энтропии самого рабочего тела за цикл всегда равно нулю: | ||
| + | $$\Delta S_{\text{р.т.}} = 0$$ | ||
| + | |||
| + | Следовательно, полное изменение энтропии замкнутой системы за цикл складывается только из изменения энтропии тепловых резервуаров: | ||
| + | $$\Delta S_{\text{системы}} = \Delta S_{\text{нагр}} + \Delta S_{\text{холод}}$$ | ||
| + | |||
| + | Пусть за цикл машина получает от нагревателя количество теплоты $Q_1$ и отдает холодильнику количество теплоты $Q_2$ (где $Q_1, Q_2 > 0$). | ||
| + | Тогда нагреватель теряет энтропию, а холодильник приобретает: | ||
| + | $$\Delta S_{\text{системы}} = -\frac{Q_1}{T_1} + \frac{Q_2}{T_2}$$ | ||
| + | |||
| + | Согласно второму началу термодинамики, энтропия замкнутой системы не может убывать ($\Delta S_{\text{системы}} \ge 0$). Следовательно: | ||
| + | $$\frac{Q_2}{T_2} - \frac{Q_1}{T_1} \ge 0 \implies \frac{Q_2}{Q_1} \ge \frac{T_2}{T_1}$$ | ||
| + | |||
| + | Теперь выразим КПД тепловой машины через работу $W = Q_1 - Q_2$: | ||
| + | $$\eta = \frac{W}{Q_1} = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2}{Q_1}$$ | ||
| + | |||
| + | Подставим сюда полученное термодинамическое неравенство $\frac{Q_2}{Q_1} \ge \frac{T_2}{T_1}$: | ||
| + | $$\eta \le 1 - \frac{T_2}{T_1}$$ | ||
| + | |||
| + | <b>Вывод:</b> | ||
| + | КПД достигает своего максимально возможного значения $\eta_{\text{max}} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ (КПД цикла Карно) в том и только в том случае, когда неравенство превращается в равенство: | ||
| + | $$\frac{Q_2}{T_2} - \frac{Q_1}{T_1} = 0 \implies \Delta S_{\text{системы}} = 0$$ | ||
| + | Таким образом, КПД тепловой машины максимален, если процесс полностью обратим и полная энтропия системы не изменяется. | ||
| @@ -1,9 +1,31 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $5.9.14.$ Покажите, что КПД тепловой машины в циклическом процессе максимален, когда энтропия системы не меняется. | $5.9.14.$ Покажите, что КПД тепловой машины в циклическом процессе максимален, когда энтропия системы не меняется. | ||
| ### Решение |
### Решение | ||
|  | В условии задачи под «системой» подразумевается полная замкнутая термодинамическая система, включающая в себя рабочее тело тепловой машины, а также тепловые резервуары (нагреватель с температурой $T_1$ и холодильник с температурой $T_2$). | ||
|  | За один полный цикл рабочее тело возвращается в исходное состояние. Поскольку энтропия $S$ является функцией состояния, изменение энтропии самого рабочего тела за цикл всегда равно нулю: | ||
| $$\Delta S_{\text{р.т.}} = 0$$ | |||
| Следовательно, полное изменение энтропии замкнутой системы за цикл складывается только из изменения энтропии тепловых резервуаров: | |||
| $$\Delta S_{\text{системы}} = \Delta S_{\text{нагр}} + \Delta S_{\text{холод}}$$ | |||
| Пусть за цикл машина получает от нагревателя количество теплоты $Q_1$ и отдает холодильнику количество теплоты $Q_2$ (где $Q_1, Q_2 > 0$). | |||
| Тогда нагреватель теряет энтропию, а холодильник приобретает: | |||
| $$\Delta S_{\text{системы}} = -\frac{Q_1}{T_1} + \frac{Q_2}{T_2}$$ | |||
| Согласно второму началу термодинамики, энтропия замкнутой системы не может убывать ($\Delta S_{\text{системы}} \ge 0$). Следовательно: | |||
| $$\frac{Q_2}{T_2} - \frac{Q_1}{T_1} \ge 0 \implies \frac{Q_2}{Q_1} \ge \frac{T_2}{T_1}$$ | |||
| Теперь выразим КПД тепловой машины через работу $W = Q_1 - Q_2$: | |||
| $$\eta = \frac{W}{Q_1} = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2}{Q_1}$$ | |||
| Подставим сюда полученное термодинамическое неравенство $\frac{Q_2}{Q_1} \ge \frac{T_2}{T_1}$: | |||
| $$\eta \le 1 - \frac{T_2}{T_1}$$ | |||
| <b>Вывод:</b> | |||
| КПД достигает своего максимально возможного значения $\eta_{\text{max}} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ (КПД цикла Карно) в том и только в том случае, когда неравенство превращается в равенство: | |||
| $$\frac{Q_2}{T_2} - \frac{Q_1}{T_1} = 0 \implies \Delta S_{\text{системы}} = 0$$ | |||
| Таким образом, КПД тепловой машины максимален, если процесс полностью обратим и полная энтропия системы не изменяется. | |||