Решение

В перигее и апогее вектор скорости спутника перпендикулярен радиус-вектору, проведенному из центра Земли. Угловая скорость в этих точках связана с линейной скоростью $v$ и расстоянием до центра Земли $r$ соотношением $\omega = \frac{v}{r}$.

Согласно закону сохранения момента импульса (или второму закону Кеплера), момент импульса спутника $L$ относительно центра Земли остается неизменным на протяжении всей орбиты:
$$L = m v_p r_p = m v_a r_a = \text{const}$$
где индексы $p$ и $a$ относятся к перигею и апогею соответственно.

Выразим отношение линейных скоростей:
$$\frac{v_p}{v_a} = \frac{r_a}{r_p}$$

Искомое отношение угловых скоростей $\frac{\omega_p}{\omega_a}$:
$$\frac{\omega_p}{\omega_a} = \frac{v_p / r_p}{v_a / r_a} = \frac{v_p}{v_a} \cdot \frac{r_a}{r_p}$$

Подставляя отношение линейных скоростей из закона сохранения момента импульса, получаем:
$$\frac{\omega_p}{\omega_a} = \frac{r_a}{r_p} \cdot \frac{r_a}{r_p} = \left( \frac{r_a}{r_p} \right)^2$$

Рассчитаем расстояния от центра Земли до спутника, приняв стандартный радиус Земли $R_{\text{З}} \approx 6400 \text{ км}$:

• Радиус перигея: $r_p = R_{\text{З}} + h_p = 6400 + 500 = 6900 \text{ км}$
• Радиус апогея: $r_a = R_{\text{З}} + h_a = 6400 + 40000 = 46400 \text{ км}$

Подставляем числовые значения:
$$\frac{\omega_p}{\omega_a} = \left( \frac{46400}{6900} \right)^2 = \left( \frac{464}{69} \right)^2 \approx 45.2$$