| @@ -1,15 +1,35 @@ |
| ### Условие |
| ### Условие |
| |
| |
| $14.5.24.$ Докажите, что свободный электрон не может ни поглотить, ни испустить фотон. |
| $14.5.24.$ Докажите, что свободный электрон не может ни поглотить, ни испустить фотон. |
| |
| |
| ### Решение и Ответ: |
| ### Решение |
| |
| |
| В процессе поглощения или испускания фотона электрон должен изменить свою энергию и импульс, что для свободного электрона невозможно без внешнего воздействия. |
| Для доказательства запишем законы сохранения энергии и импульса для системы «электрон-фотон» и покажем, что они выполняются только для несуществующего фотона с частотой $\nu = 0$. |
| |
| |
| Поглощение фотона: |
| <b>1. Невозможность поглощения:</b> |
| |
| Рассмотрим процесс в системе отсчета, где свободный электрон изначально покоится. |
| |
| - До поглощения: энергия электрона $E_{e1} = mc^2$, его импульс $p_{e1} = 0$. Энергия налетающего фотона $E_{\gamma} = h\nu$, его импульс $p_{\gamma} = \frac{h\nu}{c}$. |
| |
| - После поглощения: фотон исчезает. По закону сохранения импульса, весь импульс передается электрону, то есть $p_{e2} = \frac{h\nu}{c}$. Полная энергия электрона станет $E_{e2} = \sqrt{p_{e2}^2 c^2 + m^2 c^4}$. |
| |
| |
| При поглощении фотона электрон должен приобрести энергию и импульс фотона. Однако, у свободного электрона энергия и импульс связаны соотношением E² = (mc²)² + (pc)², где m - масса покоя, p - импульс, c - скорость света. Если электрон поглощает фотон, его энергия и импульс должны измениться, но для свободного электрона это невозможно, так как его энергия покоя фиксирована. Для поглощения фотона необходима связь электрона с чем-то, что может воспринять дополнительный импульс, например, с атомом. |
| Запишем закон сохранения энергии: |
| |
| $$E_{e1} + E_{\gamma} = E_{e2}$$ |
| |
| $$mc^2 + h\nu = \sqrt{\left(\frac{h\nu}{c}\right)^2 c^2 + m^2 c^4}$$ |
| |
| $$mc^2 + h\nu = \sqrt{(h\nu)^2 + m^2 c^4}$$ |
| |
| Возведем обе части в квадрат: |
| |
| $$(mc^2)^2 + 2mc^2 h\nu + (h\nu)^2 = (h\nu)^2 + m^2 c^4$$ |
| |
| После сокращения получаем: |
| |
| $$2mc^2 h\nu = 0$$ |
| |
| Так как масса электрона $m \neq 0$, скорость света $c \neq 0$ и постоянная Планка $h \neq 0$, равенство выполняется только при $\nu = 0$. Фотонов с нулевой частотой не существует, следовательно, полное поглощение невозможно. |
| |
| |
| Испускание фотона: |
| <b>2. Невозможность испускания:</b> |
| |
| Пусть покоящийся свободный электрон испускает фотон с частотой $\nu$. |
| |
| - До испускания: энергия системы равна энергии покоя электрона $E_1 = mc^2$, импульс равен нулю. |
| |
| - После испускания: появляется фотон с импульсом $p_{\gamma} = \frac{h\nu}{c}$. Чтобы суммарный импульс остался нулевым, электрон должен получить импульс отдачи $p_e = -\frac{h\nu}{c}$. |
| |
| |
| При испускании фотона электрон должен потерять энергию и импульс. Поскольку энергия покоя свободного электрона постоянна, он не может излучать фотон без изменения своей энергии и импульса. Для испускания фотона требуется, чтобы электрон был связан с чем-то, что может воспринять энергию и импульс, например, с атомом, переходящим в другое энергетическое состояние. |
| Закон сохранения энергии: |
| |
| $$mc^2 = \sqrt{\left(-\frac{h\nu}{c}\right)^2 c^2 + m^2 c^4} + h\nu$$ |
| |
| $$mc^2 = \sqrt{(h\nu)^2 + m^2 c^4} + h\nu$$ |
| |
| Так как $h\nu > 0$, правая часть уравнения всегда строго больше $mc^2$. Равенство возможно опять же только при $\nu = 0$ (отсутствие испускания). |
| |
| |
| |
| #### Ответ |
| |
| Одновременное выполнение законов сохранения энергии и импульса при поглощении или испускании фотона свободным электроном возможно только при частоте фотона $\nu = 0$. Таких фотонов не существует. |
