Решение

Найдем скорость грузов $v$ непосредственно перед ударом $m_1$ о пол, используя закон сохранения механической энергии.
При опускании груза $m_1$ на высоту $h$, груз $m_2$ поднимается на ту же высоту $h$. Убыль потенциальной энергии системы идет на увеличение кинетической энергии обоих грузов:
$$m_1 gh - m_2 gh = \frac{(m_1 + m_2)v^2}{2}$$
$$(m_1 - m_2)gh = \frac{(m_1 + m_2)v^2}{2}$$

Отсюда выразим квадрат скорости грузов перед ударом:
$$v^2 = 2gh \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}$$

При абсолютно неупругом ударе о пол груз $m_1$ мгновенно останавливается. В этот момент нить провисает (сила натяжения становится равной нулю), и груз $m_2$ продолжает свободное движение вверх. Так как связь между грузами в момент удара пропадает, в тепло переходит исключительно кинетическая энергия падающего груза $m_1$, которой он обладал за мгновение до столкновения.

Количество выделившейся теплоты $Q$:
$$Q = \frac{m_1 v^2}{2}$$

Подставляем ранее найденное выражение для $v^2$:
$$Q = \frac{m_1}{2} \cdot 2gh \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} = m_1 gh \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}$$