Решение

Для строгого доказательства воспользуемся принципом Ферма: чтобы все параллельные лучи собрались в одной точке (фокусе) в одинаковой фазе, оптическая длина пути каждого луча от падающего волнового фронта до фокуса должна быть одинаковой.

Пусть параллельный пучок лучей падает вдоль оси $y$ из отрицательной бесконечности. Поместим искомый фокус в начало координат $F(0,0)$.
Выберем в качестве начального волнового фронта любую прямую $y = -h$ (где $h > 0$), перпендикулярную падающим лучам.

Рассмотрим произвольный луч, который пересекает фронт, падает на искомую поверхность в точке $M(x, y)$ и после отражения попадает в фокус $F(0,0)$.
Оптическая длина пути $L$ этого луча состоит из двух участков:

1. Расстояние от волнового фронта до точки $M$: $l_1 = y - (-h) = y + h$.
2. Расстояние от точки $M$ до фокуса $F$: $l_2 = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Полный оптический путь:
$$L = l_1 + l_2 = y + h + \sqrt{x^2 + y^2}$$

По условию идеальной фокусировки эта длина должна быть постоянной для любого луча (не зависеть от координаты $x$):
$$y + h + \sqrt{x^2 + y^2} = L = \text{const}$$

Перенесем $(y + h)$ в правую часть. Обозначим постоянную величину $L - h$ как $p$ ($p > 0$):
$$\sqrt{x^2 + y^2} = p - y$$

Возведем обе части в квадрат:
$$x^2 + y^2 = (p - y)^2$$
$$x^2 + y^2 = p^2 - 2py + y^2$$

Сокращаем $y^2$ и выражаем $y$:
$$x^2 = p^2 - 2py$$
$$2py = p^2 - x^2$$
$$y = \frac{p}{2} - \frac{x^2}{2p}$$

Полученное уравнение $y(x)$ — это классическое уравнение параболы. В трехмерном пространстве (для пучка лучей) поверхность образуется вращением этой кривой вокруг оси симметрии, образуя параболоид вращения.