5.5.16. Газовый термометр состоит из двух одинаковых сосудов вместимости $V_0$ каждый, соединенных трубкой длины $l$ и сечения $S$. Трубку перекрывает капля ртути. Сосуды наполнены газом. Если температура газа в обоих сосудах одинакова, ртуть находится посередине трубки. Один сосуд помещен в термостат с температурой $T_0$. Проградуируйте термометр, найдя зависимость температуры газа во втором сосуде от смещения ртути из положения равновесия.
К задаче $5.5.16$
Решение
1. Состояние равновесия
Так как капля ртути находится в равновесии, давление газа в обоих сосудах в любой момент времени одинаково. Обозначим конечное давление как $p_1$. Количество вещества газа $\nu$ в обоих сосудах также одинаково, так как изначально они находились в идентичных условиях.
2. Объемы сосудов после смещения
Пусть капля ртути сместилась на расстояние $x$ в сторону сосуда с температурой $T_0$ (будем считать его правым). Тогда объемы газа в левом (исследуемом) и правом (термостатированном) сосудах станут равны соответственно: $$V_1 = V_0 + \frac{lS}{2} + xS$$ $$V_2 = V_0 + \frac{lS}{2} - xS$$
3. Уравнения состояния
Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для обоих сосудов в конечном состоянии. Для левого сосуда (температура $T$): $$p_1 \left(V_0 + \frac{lS}{2} + xS\right) = \nu RT$$ Для правого сосуда (температура $T_0$): $$p_1 \left(V_0 + \frac{lS}{2} - xS\right) = \nu RT_0$$
4. Вывод итоговой формулы
Разделим первое уравнение на второе, чтобы сократить неизвестные $p_1$,$\nu$ и $R$: $$\frac{V_0 + \frac{lS}{2} + xS}{V_0 + \frac{lS}{2} - xS} = \frac{T}{T_0}$$ Для удобства умножим числитель и знаменатель левой дроби на $2$: $$\frac{2V_0 + (l + 2x)S}{2V_0 + (l - 2x)S} = \frac{T}{T_0}$$ Отсюда выражаем искомую температуру $T$: $$T = T_0 \frac{2V_0 + (l + 2x)S}{2V_0 + (l - 2x)S}$$
