Решение

1. Геометрический анализ

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центрами бревен (см. правый рисунок). Гипотенуза равна $2R$ (сумма радиусов двух бревен), а вертикальный катет равен $R$ (так как верхнее бревно погружено ровно наполовину, а нижнее лишь касается поверхности).
Тогда косинус угла $\theta$ между линией центров и вертикалью:
$$\cos\theta = \frac{R}{2R} = 0,5$$
Отсюда $\theta = 60^\circ$.

2. Силы, действующие на нижнее бревно

Запишем второй закон Ньютона для нижнего (полностью погруженного) бревна в проекциях на оси.
На ось $x$:
$$N = N_t \sin\theta \quad (1)$$
где $N$ — искомая сила реакции стенки, $N_t$ — сила взаимодействия между бревнами.
На ось $y$:
$$F_{A1} = mg + N_t \cos\theta$$
Так как бревно погружено полностью, сила Архимеда $F_{A1} = \rho_w g V$, где $V$ — объем бревна:
$$\rho_w g V = mg + N_t \cos\theta \quad (2)$$

3. Силы, действующие на верхнее бревно

Запишем уравнения для верхнего (наполовину погруженного) бревна.
На ось $x$ уравнение аналогично (из-за симметрии силы давления на левую и правую стенки равны):
$$N = N_t \sin\theta$$
На ось $y$:
$$F_{A2} + N_t \cos\theta = mg$$
Так как верхнее бревно погружено ровно наполовину, сила Архимеда $F_{A2} = \rho_w g \frac{V}{2}$:
$$\rho_w g \frac{V}{2} + N_t \cos\theta = mg \quad (3)$$

4. Решение системы уравнений

Выразим $\rho_w g V$ из уравнения $(2)$ и подставим в $(3)$, предварительно разделив его пополам:
$$\frac{mg + N_t \cos\theta}{2} + N_t \cos\theta = mg$$
Умножим обе части на $2$:
$$mg + N_t \cos\theta + 2N_t \cos\theta = 2mg$$
$$3N_t \cos\theta = mg \implies N_t = \frac{mg}{3 \cos\theta} \quad (4)$$
Подставим полученное выражение $(4)$ в уравнение $(1)$:
$$N = \frac{mg}{3 \cos\theta} \sin\theta = \frac{mg}{3} \tan\theta$$
Так как $\theta = 60^\circ$, то $\tan\theta = \sqrt{3}$. Получаем итоговую силу давления:
$$N = \frac{mg}{3} \sqrt{3} = \frac{mg}{\sqrt{3}}$$

Примечание: По третьему закону Ньютона, сила, с которой бревна давят на стенки, равна по модулю силе реакции опоры $N$.