Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/2.8.4.md
+18 −4
| @@ -1,15 +1,29 @@ | |||
| ### Условие | |||
| $2.8.4.$ Через три отверстия в крышке стола пропущены нити, связанные с одного конца общим узлом. К другому концу каждой нити прикреплены одинаковые грузы. Найдите углы между нитями. Трением пренебречь. | |||
| + |  | ||
| + | |||
| ### Решение | |||
| − |  | ||
| + | Так как к нитям подвешены одинаковые по массе грузы, натяжение каждой нити одинаково: $T = mg$. | ||
| − |  | ||
| + | Узел нитей находится в состоянии статического равновесия. Это означает, что векторная сумма сил натяжения всех трех нитей равна нулю. Из этого следует важный вывод: векторная сумма сил натяжения <b>любых двух</b> нитей должна по модулю равняться силе натяжения <b>третьей</b> нити (то есть равняться $T$) и быть направлена в противоположную сторону. | ||
| − | #### Ответ | ||
| + |  | ||
| − | К нитям подвешены одинаковые по массе грузы. Значит, что натяжение нитей по модулю будут одинаковыми. |T|=|T1|=|T2|=|T3|. Узел нитей находится в сосостоянии статического равновесия, это означает, что геометрическая сумма трёх сходящихся сил равна нулю, это возможно только в том случае, если угол между соседними линиями действия сил равен 120°. |T13| = √T^2+T^2+2T^2+cos120° = T. T1+T3=T13. T13+T2=0. | ||
| + | Рассмотрим сумму векторов двух сил натяжения, угол между которыми равен $\gamma$ (см. рисунок "Вид сверху"). Модуль результирующего вектора $T_R$ можно найти из геометрии ромба (или по теореме косинусов): | ||
| + | $$T_R = 2T \cos\left(\frac{\gamma}{2}\right)$$ | ||
| + | Так как для равновесия необходимо, чтобы $T_R = T$, получаем уравнение: | ||
| + | $$T = 2T \cos\left(\frac{\gamma}{2}\right)$$ | ||
| + | $$\cos\left(\frac{\gamma}{2}\right) = 0,5$$ | ||
| + | $$\frac{\gamma}{2} = 60^\circ \implies \gamma = 120^\circ$$ | ||
| + | Поскольку это условие (сумма двух векторов равна третьему) должно выполняться для <b>любой</b> пары нитей, то все три угла между соседними нитями должны быть равны друг другу. | ||
| + | |||
| + | Обозначив углы как $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, получаем: | ||
| + | $$\alpha = \beta = \gamma = 120^\circ$$ | ||
| + | |||
| + | #### Ответ | ||
| + | $$120^\circ$$ | ||
| @@ -1,15 +1,29 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $2.8.4.$ Через три отверстия в крышке стола пропущены нити, связанные с одного конца общим узлом. К другому концу каждой нити прикреплены одинаковые грузы. Найдите углы между нитями. Трением пренебречь. | $2.8.4.$ Через три отверстия в крышке стола пропущены нити, связанные с одного конца общим узлом. К другому концу каждой нити прикреплены одинаковые грузы. Найдите углы между нитями. Трением пренебречь. | ||
|  | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
|  | Так как к нитям подвешены одинаковые по массе грузы, натяжение каждой нити одинаково: $T = mg$. | ||
|  | Узел нитей находится в состоянии статического равновесия. Это означает, что векторная сумма сил натяжения всех трех нитей равна нулю. Из этого следует важный вывод: векторная сумма сил натяжения <b>любых двух</b> нитей должна по модулю равняться силе натяжения <b>третьей</b> нити (то есть равняться $T$) и быть направлена в противоположную сторону. | ||
| #### Ответ |  | ||
| К нитям подвешены одинаковые по массе грузы. Значит, что натяжение нитей по модулю будут одинаковыми. |T|=|T1|=|T2|=|T3|. Узел нитей находится в сосостоянии статического равновесия, это означает, что геометрическая сумма трёх сходящихся сил равна нулю, это возможно только в том случае, если угол между соседними линиями действия сил равен 120°. |T13| = √T^2+T^2+2T^2+cos120° = T. T1+T3=T13. T13+T2=0. | Рассмотрим сумму векторов двух сил натяжения, угол между которыми равен $\gamma$ (см. рисунок "Вид сверху"). Модуль результирующего вектора $T_R$ можно найти из геометрии ромба (или по теореме косинусов): | ||
| $$T_R = 2T \cos\left(\frac{\gamma}{2}\right)$$ | |||
| Так как для равновесия необходимо, чтобы $T_R = T$, получаем уравнение: | |||
| $$T = 2T \cos\left(\frac{\gamma}{2}\right)$$ | |||
| $$\cos\left(\frac{\gamma}{2}\right) = 0,5$$ | |||
| $$\frac{\gamma}{2} = 60^\circ \implies \gamma = 120^\circ$$ | |||
| Поскольку это условие (сумма двух векторов равна третьему) должно выполняться для <b>любой</b> пары нитей, то все три угла между соседними нитями должны быть равны друг другу. | |||
| Обозначив углы как $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, получаем: | |||
| $$\alpha = \beta = \gamma = 120^\circ$$ | |||
| #### Ответ | |||
| $$120^\circ$$ | |||