Правка разделов «Условие», «Решение», «Альтернативное решение»
ru/4.2.11.md
+38 −4
| @@ -1,15 +1,49 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $4.2.11.$ С какой силой давит тяжелая палочка на дно водоема, если жестко связанный с палочкой пустотелый шарик радиуса | ||
| + | $4.2.11.$ С какой силой давит тяжелая палочка на дно водоема, если жестко связанный с палочкой пустотелый шарик радиуса $r$ погрузился в жидкость наполовину? Плотность жидкости $\rho$, длина палочки $l$. | ||
| + |  | ||
| + | |||
| ### Решение | |||
| − |  | ||
| + | Система находится в равновесии, поэтому сумма моментов всех сил равна нулю ($\sum \vec{\tau} = 0$). Выберем в качестве оси вращения центр масс палочки (находящийся на расстоянии $l/2$ от дна вдоль палочки). | ||
| + | Считаем, что шарик имеет массу $m_b$, а силу Архимеда обозначим как $F_A$. Запишем уравнение моментов: | ||
| + | $$F_A \left(\frac{l}{2} + r\right) \cos\alpha - m_b g \left(\frac{l}{2} + r\right) \cos\alpha - N \frac{l}{2} \cos\alpha = 0$$ | ||
| + | Разделим обе части на $\cos\alpha$: | ||
| + | $$F_A \left(\frac{l}{2} + r\right) - m_b g \left(\frac{l}{2} + r\right) - N \frac{l}{2} = 0$$ | ||
| − | #### Ответ | ||
| + | Так как шарик погружен наполовину, выталкивающая сила $F_A = \rho g \frac{V}{2}$, где объем шара $V = \frac{4}{3}\pi r^3$. | ||
| + | Массу шарика можно выразить через его плотность $m_b = \rho_0 V$. Подставим это в уравнение: | ||
| + | $$\rho g \frac{V}{2} \left(\frac{l}{2} + r\right) - \rho_0 g V \left(\frac{l}{2} + r\right) - N \frac{l}{2} = 0$$ | ||
| + | Выразим силу реакции опоры $N$: | ||
| + | $$N = \frac{2\pi r^3 g}{3} \left(1 + 2\frac{r}{l}\right) (\rho - 2\rho_0)$$ | ||
| − | |||
| + | Поскольку по условию шарик <i>пустотелый</i> (его массой можно пренебречь), принимаем $\rho_0 = 0$. Тогда: | ||
| + | $$N = \frac{2}{3}\pi r^3 \rho g \left(1 + 2\frac{r}{l}\right)$$ | ||
| + | --- | ||
| + | ### Альтернативное решение | ||
| + | |||
| + | Выберем в качестве оси вращения точку касания палочки с дном водоема. Запишем уравнение моментов ($\sum \vec{\tau} = 0$), пренебрегая массой пустотелого шарика: | ||
| + | $$F_A (l + r) \cos\alpha - m_s g \frac{l}{2} \cos\alpha = 0$$ | ||
| + | где $m_s$ — масса палочки. | ||
| + | Из этого уравнения легко найти массу палочки: | ||
| + | $$m_s = \frac{2 F_A (l + r)}{g l} = \frac{2 \left(\rho g \frac{V}{2}\right) (l + r)}{g l} = \rho V \left(1 + \frac{r}{l}\right) \quad (1)$$ | ||
| + | |||
| + | Теперь применим второй закон Ньютона для проекций сил на вертикальную ось: | ||
| + | $$F_A + N = m_s g$$ | ||
| + | $$\rho g \frac{V}{2} + N = m_s g \quad (2)$$ | ||
| + | |||
| + | Подставим массу палочки из $(1)$ в $(2)$ и выразим $N$: | ||
| + | $$N = \rho V g \left(1 + \frac{r}{l}\right) - \rho g \frac{V}{2} = \rho g V \left(\frac{1}{2} + \frac{r}{l}\right) = \frac{\rho g V}{2} \left(1 + 2\frac{r}{l}\right)$$ | ||
| + | Подставляя объем шара $V = \frac{4}{3}\pi r^3$, получаем тот же результат: | ||
| + | $$N = \frac{2}{3}\pi r^3 \rho g \left(1 + 2\frac{r}{l}\right)$$ | ||
| + | |||
| + | <i>Примечание: По третьему закону Ньютона, искомая сила давления $F$ равна по модулю силе реакции опоры $N$.</i> | ||
| + | |||
| + | #### Ответ | ||
| + | $$F = \frac{2}{3}\pi r^3 \rho g \left(1 + \frac{2r}{l}\right)$$ | ||
| @@ -1,15 +1,49 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $4.2.11.$ С какой силой давит тяжелая палочка на дно водоема, если жестко связанный с палочкой пустотелый шарик радиуса |
$4.2.11.$ С какой силой давит тяжелая палочка на дно водоема, если жестко связанный с палочкой пустотелый шарик радиуса $r$ погрузился в жидкость наполовину? Плотность жидкости $\rho$, длина палочки $l$. | ||
|  | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
|  | ||
| Система находится в равновесии, поэтому сумма моментов всех сил равна нулю ($\sum \vec{\tau} = 0$). Выберем в качестве оси вращения центр масс палочки (находящийся на расстоянии $l/2$ от дна вдоль палочки). | |||
| Считаем, что шарик имеет массу $m_b$, а силу Архимеда обозначим как $F_A$. Запишем уравнение моментов: | |||
| $$F_A \left(\frac{l}{2} + r\right) \cos\alpha - m_b g \left(\frac{l}{2} + r\right) \cos\alpha - N \frac{l}{2} \cos\alpha = 0$$ | |||
| Разделим обе части на $\cos\alpha$: | |||
| $$F_A \left(\frac{l}{2} + r\right) - m_b g \left(\frac{l}{2} + r\right) - N \frac{l}{2} = 0$$ | |||
| #### Ответ | Так как шарик погружен наполовину, выталкивающая сила $F_A = \rho g \frac{V}{2}$, где объем шара $V = \frac{4}{3}\pi r^3$. | ||
| Массу шарика можно выразить через его плотность $m_b = \rho_0 V$. Подставим это в уравнение: | |||
| $$\rho g \frac{V}{2} \left(\frac{l}{2} + r\right) - \rho_0 g V \left(\frac{l}{2} + r\right) - N \frac{l}{2} = 0$$ | |||
| Выразим силу реакции опоры $N$: | |||
| $$N = \frac{2\pi r^3 g}{3} \left(1 + 2\frac{r}{l}\right) (\rho - 2\rho_0)$$ | |||
| Поскольку по условию шарик <i>пустотелый</i> (его массой можно пренебречь), принимаем $\rho_0 = 0$. Тогда: | |||
| $$N = \frac{2}{3}\pi r^3 \rho g \left(1 + 2\frac{r}{l}\right)$$ | |||
| --- | |||
| ### Альтернативное решение | |||
| Выберем в качестве оси вращения точку касания палочки с дном водоема. Запишем уравнение моментов ($\sum \vec{\tau} = 0$), пренебрегая массой пустотелого шарика: | |||
| $$F_A (l + r) \cos\alpha - m_s g \frac{l}{2} \cos\alpha = 0$$ | |||
| где $m_s$ — масса палочки. | |||
| Из этого уравнения легко найти массу палочки: | |||
| $$m_s = \frac{2 F_A (l + r)}{g l} = \frac{2 \left(\rho g \frac{V}{2}\right) (l + r)}{g l} = \rho V \left(1 + \frac{r}{l}\right) \quad (1)$$ | |||
| Теперь применим второй закон Ньютона для проекций сил на вертикальную ось: | |||
| $$F_A + N = m_s g$$ | |||
| $$\rho g \frac{V}{2} + N = m_s g \quad (2)$$ | |||
| Подставим массу палочки из $(1)$ в $(2)$ и выразим $N$: | |||
| $$N = \rho V g \left(1 + \frac{r}{l}\right) - \rho g \frac{V}{2} = \rho g V \left(\frac{1}{2} + \frac{r}{l}\right) = \frac{\rho g V}{2} \left(1 + 2\frac{r}{l}\right)$$ | |||
| Подставляя объем шара $V = \frac{4}{3}\pi r^3$, получаем тот же результат: | |||
| $$N = \frac{2}{3}\pi r^3 \rho g \left(1 + 2\frac{r}{l}\right)$$ | |||
| <i>Примечание: По третьему закону Ньютона, искомая сила давления $F$ равна по модулю силе реакции опоры $N$.</i> | |||
| #### Ответ | |||
| $$F = \frac{2}{3}\pi r^3 \rho g \left(1 + \frac{2r}{l}\right)$$ | |||