Поскольку в задаче требуется <i>оценить</i> скорость (на что указывает и знак $\approx$ в ответе задачника), числовыми коэффициентами порядка единицы можно пренебречь. Мы приведем два метода: упрощенную кинематическую оценку (соответствующую ответу задачника) и строгий аналитический вывод.
+
+
<b>Метод 1. Кинематическая оценка</b>\
+
Приближенно представим траекторию электрона как две склеенные полуокружности. В верхней части траектории поле слабее ($B_1$), радиус больше ($R_1$). В нижней — поле сильнее ($B_2$), радиус меньше ($R_2$).
+
+
Радиус траектории $R = \frac{m_e v}{eB}$. Смещение электрона вдоль оси $y$ за один полный оборот равно разности диаметров:
Для точного вычисления воспользуемся методом эквивалентного магнитного диполя.
+
Электрон, вращающийся по круговой орбите, эквивалентен замкнутому контуру с током. Так как $v \ll eB_0/(\alpha m_e)$, изменение поля на масштабе витка мало. Радиус $R = \frac{m_e v}{e B_0}$, период $T = \frac{2\pi m_e}{e B_0}$.
+
Эффективный ток такого контура:
+
$$I = \frac{e}{T} = \frac{e v}{2\pi R}$$
+
+
Магнитный момент этого микротока $\mu = I S$, где площадь $S = \pi R^2$:
Скорость дрейфа под действием поперечной силы $\vec{F}$ вычисляется как $\vec{v}_d = \frac{\vec{F}\times\vec{B}}{q B^2}$. Подставляя модуль силы, получаем точное значение скорости градиентного дрейфа:
Как видно, строгий расчет дает дополнительный коэффициент $1/2$, который теряется при грубой кинематической оценке. Вектор скорости направлен влево (вдоль оси $-y$).
+
+
#### Ответ
+
$$v_d \approx\frac{\alpha m_e v^2}{e B_0}$$
### Условие:
### Условие:
$10.2.2^{∗}.$ Оцените скорость дрейфа электрона поперек неоднородного магнитного поля, компоненты индукции которого $B_x = 0,$$B_y = 0,$$B_z = B_0(1 + \alpha x)$. Скорость электрона $v,$$v \ll eB_0/(\alpha m_e)$.
$10.2.2^{∗}.$ Оцените скорость дрейфа электрона поперек неоднородного магнитного поля, компоненты индукции которого $B_x = 0,$$B_y = 0,$$B_z = B_0(1 + \alpha x)$. Скорость электрона $v,$$v \ll eB_0/(\alpha m_e)$.
Поскольку в задаче требуется <i>оценить</i> скорость (на что указывает и знак $\approx$ в ответе задачника), числовыми коэффициентами порядка единицы можно пренебречь. Мы приведем два метода: упрощенную кинематическую оценку (соответствующую ответу задачника) и строгий аналитический вывод.
<b>Метод 1. Кинематическая оценка</b>\
Приближенно представим траекторию электрона как две склеенные полуокружности. В верхней части траектории поле слабее ($B_1$), радиус больше ($R_1$). В нижней — поле сильнее ($B_2$), радиус меньше ($R_2$).
Радиус траектории $R = \frac{m_e v}{eB}$. Смещение электрона вдоль оси $y$ за один полный оборот равно разности диаметров:
Для точного вычисления воспользуемся методом эквивалентного магнитного диполя.
Электрон, вращающийся по круговой орбите, эквивалентен замкнутому контуру с током. Так как $v \ll eB_0/(\alpha m_e)$, изменение поля на масштабе витка мало. Радиус $R = \frac{m_e v}{e B_0}$, период $T = \frac{2\pi m_e}{e B_0}$.
Эффективный ток такого контура:
$$I = \frac{e}{T} = \frac{e v}{2\pi R}$$
Магнитный момент этого микротока $\mu = I S$, где площадь $S = \pi R^2$:
Скорость дрейфа под действием поперечной силы $\vec{F}$ вычисляется как $\vec{v}_d = \frac{\vec{F}\times\vec{B}}{q B^2}$. Подставляя модуль силы, получаем точное значение скорости градиентного дрейфа:
Как видно, строгий расчет дает дополнительный коэффициент $1/2$, который теряется при грубой кинематической оценке. Вектор скорости направлен влево (вдоль оси $-y$).
