Решение

Условие

$5.4.9.$ Между двумя длинными коаксиальными цилиндрами радиуса $r_1$ и $r_2$ находится разреженный газ. Внутренний цилиндр вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$. Оцените угловую скорость внешнего цилиндра.

Решение

В разреженном газе молекулы не сталкиваются друг с другом, а только со стенками. В состоянии теплового равновесия при диффузном отражении от стенки молекула **в среднем** приобретает тангенциальную скорость этой стенки.

Пусть установившаяся угловая скорость внешнего цилиндра равна $\omega'$.
Средний момент импульса молекулы (относительно оси цилиндров), отлетающей от внутреннего цилиндра:
$$L_1 = m(\omega r_1) \cdot r_1 = m\omega r_1^2$$

Средний момент импульса молекулы, отлетающей от внешнего цилиндра:
$$L_2 = m(\omega' r_2) \cdot r_2 = m\omega' r_2^2$$

Некоторые молекулы, отлетающие от внешнего цилиндра, пролетают по хорде мимо внутреннего и снова ударяются о внешний. Такие молекулы уносят момент $L_2$ и при следующем ударе возвращают точно такой же момент $L_2$. Их суммарный вклад во вращение внешнего цилиндра строго равен нулю.

Поэтому баланс моментов определяется только «транзитными» молекулами. В стационарном состоянии поток частиц от внутреннего цилиндра к внешнему равен потоку частиц от внешнего к внутреннему.
Чтобы суммарный момент сил, действующий на внешний цилиндр, был равен нулю, средний приносимый момент импульса должен равняться уносимому:
$$L_1 = L_2 \implies m\omega r_1^2 = m\omega' r_2^2$$

Отсюда находим угловую скорость внешнего цилиндра:
$$\omega' = \omega \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$$