| @@ -1,16 +1,10 @@ |
| ### Условие |
| ### Условие |
| |
| |
| $5.4.9.$ [Вставьте условие задачи] |
| |
| |
| |
| ### Решение |
| |
| |
| |
| ### Условие |
| |
| |
| |
| $5.4.9.$ Между двумя длинными коаксиальными цилиндрами радиуса $r_1$ и $r_2$ находится разреженный газ. Внутренний цилиндр вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$. Оцените угловую скорость внешнего цилиндра. |
| $5.4.9.$ Между двумя длинными коаксиальными цилиндрами радиуса $r_1$ и $r_2$ находится разреженный газ. Внутренний цилиндр вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$. Оцените угловую скорость внешнего цилиндра. |
| |
| |
| ### Решение |
| ### Решение |
| |
| |
| В разреженном газе молекулы не сталкиваются друг с другом, а только со стенками. В состоянии теплового равновесия при диффузном отражении от стенки молекула **в среднем** приобретает тангенциальную скорость этой стенки. |
| В разреженном газе молекулы не сталкиваются друг с другом, а только со стенками. В состоянии теплового равновесия при диффузном отражении от стенки молекула <b>в среднем</b> приобретает тангенциальную скорость этой стенки. |
| |
| |
| Пусть установившаяся угловая скорость внешнего цилиндра равна $\omega'$. |
| Пусть установившаяся угловая скорость внешнего цилиндра равна $\omega'$. |
| Средний момент импульса молекулы (относительно оси цилиндров), отлетающей от внутреннего цилиндра: |
| Средний момент импульса молекулы (относительно оси цилиндров), отлетающей от внутреннего цилиндра: |
| $$L_1 = m(\omega r_1) \cdot r_1 = m\omega r_1^2$$ | | $$L_1 = m(\omega r_1) \cdot r_1 = m\omega r_1^2$$ |
| | | |
| Средний момент импульса молекулы, отлетающей от внешнего цилиндра: | | Средний момент импульса молекулы, отлетающей от внешнего цилиндра: |
| $$L_2 = m(\omega' r_2) \cdot r_2 = m\omega' r_2^2$$ | | $$L_2 = m(\omega' r_2) \cdot r_2 = m\omega' r_2^2$$ |
| | | |
| Некоторые молекулы, отлетающие от внешнего цилиндра, пролетают по хорде мимо внутреннего и снова ударяются о внешний. Такие молекулы уносят момент $L_2$ и при следующем ударе возвращают точно такой же момент $L_2$. Их суммарный вклад во вращение внешнего цилиндра строго равен нулю. | | Некоторые молекулы, отлетающие от внешнего цилиндра, пролетают по хорде мимо внутреннего и снова ударяются о внешний. Такие молекулы уносят момент $L_2$ и при следующем ударе возвращают точно такой же момент $L_2$. Их суммарный вклад во вращение внешнего цилиндра строго равен нулю. |
| | | |
| Поэтому баланс моментов определяется только «транзитными» молекулами. В стационарном состоянии поток частиц от внутреннего цилиндра к внешнему равен потоку частиц от внешнего к внутреннему. | | Поэтому баланс моментов определяется только «транзитными» молекулами. В стационарном состоянии поток частиц от внутреннего цилиндра к внешнему равен потоку частиц от внешнего к внутреннему. |
| Чтобы суммарный момент сил, действующий на внешний цилиндр, был равен нулю, средний приносимый момент импульса должен равняться уносимому: | | Чтобы суммарный момент сил, действующий на внешний цилиндр, был равен нулю, средний приносимый момент импульса должен равняться уносимому: |
| $$L_1 = L_2 \implies m\omega r_1^2 = m\omega' r_2^2$$ | | $$L_1 = L_2 \implies m\omega r_1^2 = m\omega' r_2^2$$ |
| | | |
| Отсюда находим угловую скорость внешнего цилиндра: | | Отсюда находим угловую скорость внешнего цилиндра: |
| $$\omega' = \omega \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$$ | | $$\omega' = \omega \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$$ |
