Решение

Технический подход. Магнит действует на такой малый участок, что посчитаем его предельно жестким и безмассовым. Тогда можно считать в месте действия магнита тонкая безмассовая стенка, на которой должны выполняться определенные граничные условия. В такой постановке задача аналогична задаче о вынужденных колебания воздуха в трубе из-за колебания тонкого безмассового поршня в произвольном месте внутри трубы [1].

Две стоячие волны

Пусть один конце струны в координате $x = 0$. Другой в $x = L$. Магнит действует на малый участок в координате $0 < x = x_1 < L$.

По сказанной идее считаем, что на участках, отделенных координатой $x_1$, образуются свои стоячие волны.

На участке с координатами от $0$ до $x_1$ устанавливается своя стоячая волна напряжения с учетом, что в $x = 0$ напряжение максимально:

$$\sigma_A = A\cos kx,$$

где $A$ есть амплитуда напряжения этой в стоячей волне, $k = 2\pi/\lambda$ (временной частью напряжения не интересуемся).

На участке с координатами от $x_1$ до $L$ с учетом, что в $x = L$ напряжение максимально:

$$\sigma_B = B\cos\left[k\left(x - L\right)\right],$$

где $B$ есть амплитуда напряжения в этой стоячей волне, $k = 2\pi/\lambda$ (временной частью напряжения не интересуемся).

Величины $A, B$ есть амплитуды алгебраические (могут быть отрицательными) из-за неоднозначности выбора между законом положительного отрицательного косинуса в формуле напряжения.

По $\sigma = \rho vc$ (как $p = \rho vc$) и тому, что скорость в волне стоячей по координате отстает от давления на $\pi/2$ (следствие дифференцирования, например). В волне для дальнейшего запишем законы скорости в волнах напряжений $\sigma_A, \sigma_B$ соответственно

$$v_A = \frac{A}{\rho c}\sin kx$$

и

$$v_B = \frac{B}{\rho c}\sin\left[k\left(x - L\right)\right].$$

Граничные условия

Пусть амплитуда напряжения со стороны магнита $\sigma^*$, тогда на безмассовом участке его действия по второму закону Ньютона

$$\sigma_A(x_1) - \sigma_B(x_1) = \sigma^*.\tag{1}$$

А неразрывность концов струны в точке $x_1$ требует равенство скоростей

$$v_A(x_1) = v_B(x_1).\tag{2}$$

Используя формулы предыдущие по условиям $(1), (2)$ находим сначала для величины $B$:

$$\boxed{B = \sigma^*\frac{\sin kx_1}{\sin\left(-kL\right)}}$$

и далее

$$\boxed{A = \sigma^*\frac{\sin\left[k\left(x_1 - L\right)\right]}{\sin\left(-kL\right)}.}$$

Резонанс

У нас по задаче

$$\frac{\lambda}{2} = \frac{L}{3}.$$

Это приводит к тому, что знаменатели выражений для $A, B$ равны нулю и амплитуды напряжения стремятся к бесконечности независимо(!) от положения магнита в модели без потерь и точной частоте третьей гармоники струны! Бесконечны в таком случае и амплитуды колебаний.

Если в системе есть потери или частота не точно равна одной из собственных частот струны, то знаменатели $A, B$ не равны нулю и чтобы максимизировать значения $A, B$ нужно максимизировать их числители (максимизируется и амплитуда колебаний).

Поиск максимумов указанных числителей дает допустимые максимизирующие значения $x_1$:

$$\boxed{x_1 = \frac{L}{6}, \frac{L}{2}, \frac{5L}{6}.}$$

Ответ по изданию 1981 г.