Правка разделов «Решение», «Ответ»
ru/13.1.13.md
+19 −2
| ### Условие | |||
| $13.1.13.$ Определите фокусное расстояние сферического зеркала радиуса кривизны R. | |||
| @@ -4,10 +4,27 @@Условие | |||
| ### Решение | |||
| − |  | ||
| + | Рассмотрим луч, параллельный главной оптической оси и падающий на сферическое зеркало в точке $A$. | ||
| + | Радиус зеркала $OA = R$ является нормалью к поверхности в точке падения. Согласно закону отражения, угол падения равен углу отражения: $\angle (\text{падающий луч}, OA) = \angle OAF = \alpha$. | ||
| + | Так как падающий луч параллелен главной оптической оси $OC$, внутренний накрест лежащий угол $\angle AOF$ также равен $\alpha$. | ||
| + | |||
| + | Следовательно, треугольник $\triangle AOF$ является равнобедренным, откуда: | ||
| + | $$ |OF| = |AF| $$ | ||
| + | |||
| + | Опустим перпендикуляр из точки $F$ на отрезок $OA$. В равнобедренном треугольнике он является медианой, поэтому: | ||
| + | $$ |OF| \cos \alpha = \frac{R}{2} \implies |OF| = \frac{R}{2 \cos \alpha} $$ | ||
| + | |||
| + | Расстояние от полюса зеркала $C$ до фокуса $F$ (фокусное расстояние) равно: | ||
| + | $$ F = |OC| - |OF| = R - \frac{R}{2 \cos \alpha} $$ | ||
| + | |||
| + | Для параксиальных лучей, формирующих четкое изображение, угол $\alpha$ мал ($\alpha \to 0$). В этом приближении $\cos \alpha \approx 1$. | ||
| + | |||
| + | Выполняя предельный переход, получаем искомое фокусное расстояние сферического зеркала: | ||
| + | $$ F = R - \frac{R}{2} = \frac{R}{2} $$ | ||
| #### Ответ | |||
| − | |||
| + | $$ F = \frac{R}{2} $$ | ||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $13.1.13.$ Определите фокусное расстояние сферического зеркала радиуса кривизны R. | $13.1.13.$ Определите фокусное расстояние сферического зеркала радиуса кривизны R. | ||
| @@ -4,10 +4,27 @@Условие | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
|  | ||
| Рассмотрим луч, параллельный главной оптической оси и падающий на сферическое зеркало в точке $A$. | |||
| Радиус зеркала $OA = R$ является нормалью к поверхности в точке падения. Согласно закону отражения, угол падения равен углу отражения: $\angle (\text{падающий луч}, OA) = \angle OAF = \alpha$. | |||
| Так как падающий луч параллелен главной оптической оси $OC$, внутренний накрест лежащий угол $\angle AOF$ также равен $\alpha$. | |||
| Следовательно, треугольник $\triangle AOF$ является равнобедренным, откуда: | |||
| $$ |OF| = |AF| $$ | |||
| Опустим перпендикуляр из точки $F$ на отрезок $OA$. В равнобедренном треугольнике он является медианой, поэтому: | |||
| $$ |OF| \cos \alpha = \frac{R}{2} \implies |OF| = \frac{R}{2 \cos \alpha} $$ | |||
| Расстояние от полюса зеркала $C$ до фокуса $F$ (фокусное расстояние) равно: | |||
| $$ F = |OC| - |OF| = R - \frac{R}{2 \cos \alpha} $$ | |||
| Для параксиальных лучей, формирующих четкое изображение, угол $\alpha$ мал ($\alpha \to 0$). В этом приближении $\cos \alpha \approx 1$. | |||
| Выполняя предельный переход, получаем искомое фокусное расстояние сферического зеркала: | |||
| $$ F = R - \frac{R}{2} = \frac{R}{2} $$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$ F = \frac{R}{2} $$ | |||