Решение

Условие

$6.3.17^\ast$. Внутри полости длинного незаряженного проводника, радиус которого $r$, находится заряд $q$. Проводник окружен цилиндрическим экраном радиуса $R$. Длина проводника $L \gg R$. Как зависит в средней части системы напряженность электрического поля вне полости от расстояния до оси этой системы?

Решение

Рассмотрим среднюю часть системы. Так как длина проводников значительно превышает их радиусы ($L \gg R$), краевыми эффектами на торцах цилиндров можно пренебречь. Система в средней части обладает осевой (цилиндрической) симметрией.

1. Внутри металла:
Напряженность поля внутри самого незаряженного проводника (в толще стенки) равна нулю. Заряд $q$ индуцирует на стенках полости заряд $-q$. По закону сохранения заряда, на внешней поверхности проводника (радиус $r$) появляется заряд $+q$.

2. Поле в зазоре ($r < \rho < R$):
Заряд $+q$ равномерно распределяется по внешней поверхности проводника радиуса $r$ на длине $L$. Линейная плотность этого заряда равна $\lambda = \frac{q}{L}$.
Применим теорему Гаусса для коаксиальной цилиндрической поверхности радиуса $\rho$ (где $r < \rho < R$) и длины $l$:
$$E \cdot 2\pi\rho l = \frac{\lambda l}{\varepsilon_0} = \frac{(q/L) l}{\varepsilon_0}$$
Отсюда напряженность поля в зазоре между проводником и экраном:
$$E(\rho) = \frac{q}{2\pi\varepsilon_0 L \rho}$$

3. Поле снаружи экрана ($\rho > R$):
Обратим внимание на рисунок к задаче: внешний цилиндрический экран радиуса $R$ имеет значок заземления. Заземленный экран имеет нулевой потенциал и полностью экранирует электрическое поле, индуцируя на своей внутренней поверхности заряд $-q$. Следовательно, поле вне системы полностью отсутствует:
$$E(\rho) = 0$$