$3.8.12.$ Происходит торцевое столкновение двух упругих стержней одинакового сечения. Рассмотрев волны сжатия, порождённые ударом, и отражение их от свободных концов, докажите, что результат соударения такой же, как и при лобовом абсолютно упругом ударе тел, если отношение длин стержней равно отношению скоростей звука в этих стержнях.
### Решение
Пронумеруем стержни индексом $i=1,2$. Для $i$-го стержня обозначим через $l_i$ его длину, через $\rho_i$ плотность, через $c_i$ скорость распространения продольной волны, через $u_i$ начальную скорость вдоль лабораторной оси $x$, а через $E_i$ модуль Юнга. Площадь одинакового сечения стержней обозначим через $S$. Выберем направление оси так, что $u_1>u_2$. После возникновения волн соприкасающиеся участки движутся с общей скоростью $U$, причём $u_1>U>u_2$.
Рассмотрим малый промежуток времени $\Delta t$. Фронт волны проходит в $i$-м стержне расстояние $c_i\Delta t$, а пройденный волной участок укорачивается на $|u_i-U|\Delta t$. Поэтому модуль продольной деформации $\varepsilon_i$ этого участка равен
$$
|\varepsilon_i|
=\frac{|u_i-U|\Delta t}{c_i\Delta t}
=\frac{|u_i-U|}{c_i}.
$$
Обозначим через $F_i$ модуль силы сжатия $i$-го стержня. По закону Гука $F_i=SE_i|\varepsilon_i|$. Покажем, откуда берётся нужная связь скорости волны с упругостью стержня. За время $\Delta t$ волна охватывает массу $\rho_iSc_i\Delta t$ и изменяет её скорость на $|u_i-U|=c_i|\varepsilon_i|$. По второму закону Ньютона импульс силы равен изменению импульса этой массы:
$$
E_i|\varepsilon_i|S\Delta t
=\rho_iSc_i\Delta t\,c_i|\varepsilon_i|.
$$
После сокращения одинаковых множителей получаем школьную связь для продольной волны
$$
c_i^2=\frac{E_i}{\rho_i}.
$$
Следовательно,
$$
F_i=SE_i|\varepsilon_i|
=S\rho_i c_i|u_i-U|.
$$
По третьему закону Ньютона силы в месте контакта равны. С учётом $u_1>U>u_2$ имеем
$$
\rho_1c_1S(u_1-U)=\rho_2c_2S(U-u_2),
$$
откуда
$$
U=\frac{\rho_1c_1u_1+\rho_2c_2u_2}
{\rho_1c_1+\rho_2c_2}.
$$
Из условия $l_1/l_2=c_1/c_2$ следует $l_1/c_1=l_2/c_2$. Обозначим это общее время прохождения волной стержня через $\tau$:
$$
\tau=\frac{l_1}{c_1}=\frac{l_2}{c_2}.
$$
Значит, волны сжатия одновременно достигают свободных концов, а отражённые волны растяжения одновременно возвращаются к месту контакта.
@@ -58,7 +58,7 @@Решение
На расчётном чертеже $t$ обозначает время, а $\xi$ — координату, отсчитываемую вдоль недеформированных стержней. Поэтому их свободные концы изображены при $\xi=-l_1$ и $\xi=l_2$.
У свободного конца сила равна нулю. Поэтому отражённая волна растяжения снимает деформацию, а вызванное ею изменение скорости равно по величине и совпадает по направлению с изменением скорости в падающей волне. Обозначим конечную скорость $i$-го стержня через $v_i$. После возвращения отражённых волн стержни снова не деформированы, и
$$
v_1=2U-u_1,
\qquad
v_2=2U-u_2.
$$
Подставляя найденную скорость $U$, получаем
$$
v_1=\frac{(\rho_1c_1-\rho_2c_2)u_1+2\rho_2c_2u_2}
{\rho_1c_1+\rho_2c_2},
\qquad
v_2=\frac{2\rho_1c_1u_1+(\rho_2c_2-\rho_1c_1)u_2}
{\rho_1c_1+\rho_2c_2}.
$$
Обозначим массу $i$-го стержня через $m_i$. Поскольку $m_i=\rho_iSl_i$, условие на длины даёт
$$
\frac{m_1}{m_2}
=\frac{\rho_1l_1}{\rho_2l_2}
=\frac{\rho_1c_1}{\rho_2c_2}.
$$
Следовательно, конечные скорости можно записать так:
$$
v_1=\frac{(m_1-m_2)u_1+2m_2u_2}{m_1+m_2},
\qquad
v_2=\frac{2m_1u_1+(m_2-m_1)u_2}{m_1+m_2}.
$$
Это в точности формулы лобового абсолютно упругого удара. Кроме того, $v_2-v_1=u_1-u_2>0$, поэтому после возвращения отражённых волн стержни расходятся и контакт прекращается.
#### Ответ
при $l_1/l_2=c_1/c_2$ результат столкновения совпадает с результатом абсолютно упругого удара тел масс $m_1$ и $m_2$:
$$
\boxed{
\begin{aligned}
v_1&=\frac{(m_1-m_2)u_1+2m_2u_2}{m_1+m_2}, \\
v_2&=\frac{2m_1u_1+(m_2-m_1)u_2}{m_1+m_2}.
\end{aligned}}
$$
ещё строк без изменений 46
### Условие
### Условие
$3.8.12.$ Происходит торцевое столкновение двух упругих стержней одинакового сечения. Рассмотрев волны сжатия, порождённые ударом, и отражение их от свободных концов, докажите, что результат соударения такой же, как и при лобовом абсолютно упругом ударе тел, если отношение длин стержней равно отношению скоростей звука в этих стержнях.
$3.8.12.$ Происходит торцевое столкновение двух упругих стержней одинакового сечения. Рассмотрев волны сжатия, порождённые ударом, и отражение их от свободных концов, докажите, что результат соударения такой же, как и при лобовом абсолютно упругом ударе тел, если отношение длин стержней равно отношению скоростей звука в этих стержнях.
### Решение
### Решение
Пронумеруем стержни индексом $i=1,2$. Для $i$-го стержня обозначим через $l_i$ его длину, через $\rho_i$ плотность, через $c_i$ скорость распространения продольной волны, через $u_i$ начальную скорость вдоль лабораторной оси $x$, а через $E_i$ модуль Юнга. Площадь одинакового сечения стержней обозначим через $S$. Выберем направление оси так, что $u_1>u_2$. После возникновения волн соприкасающиеся участки движутся с общей скоростью $U$, причём $u_1>U>u_2$.
Пронумеруем стержни индексом $i=1,2$. Для $i$-го стержня обозначим через $l_i$ его длину, через $\rho_i$ плотность, через $c_i$ скорость распространения продольной волны, через $u_i$ начальную скорость вдоль лабораторной оси $x$, а через $E_i$ модуль Юнга. Площадь одинакового сечения стержней обозначим через $S$. Выберем направление оси так, что $u_1>u_2$. После возникновения волн соприкасающиеся участки движутся с общей скоростью $U$, причём $u_1>U>u_2$.
Рассмотрим малый промежуток времени $\Delta t$. Фронт волны проходит в $i$-м стержне расстояние $c_i\Delta t$, а пройденный волной участок укорачивается на $|u_i-U|\Delta t$. Поэтому модуль продольной деформации $\varepsilon_i$ этого участка равен
Рассмотрим малый промежуток времени $\Delta t$. Фронт волны проходит в $i$-м стержне расстояние $c_i\Delta t$, а пройденный волной участок укорачивается на $|u_i-U|\Delta t$. Поэтому модуль продольной деформации $\varepsilon_i$ этого участка равен
$$
$$
|\varepsilon_i|
|\varepsilon_i|
=\frac{|u_i-U|\Delta t}{c_i\Delta t}
=\frac{|u_i-U|\Delta t}{c_i\Delta t}
=\frac{|u_i-U|}{c_i}.
=\frac{|u_i-U|}{c_i}.
$$
$$
Обозначим через $F_i$ модуль силы сжатия $i$-го стержня. По закону Гука $F_i=SE_i|\varepsilon_i|$. Покажем, откуда берётся нужная связь скорости волны с упругостью стержня. За время $\Delta t$ волна охватывает массу $\rho_iSc_i\Delta t$ и изменяет её скорость на $|u_i-U|=c_i|\varepsilon_i|$. По второму закону Ньютона импульс силы равен изменению импульса этой массы:
Обозначим через $F_i$ модуль силы сжатия $i$-го стержня. По закону Гука $F_i=SE_i|\varepsilon_i|$. Покажем, откуда берётся нужная связь скорости волны с упругостью стержня. За время $\Delta t$ волна охватывает массу $\rho_iSc_i\Delta t$ и изменяет её скорость на $|u_i-U|=c_i|\varepsilon_i|$. По второму закону Ньютона импульс силы равен изменению импульса этой массы:
$$
$$
E_i|\varepsilon_i|S\Delta t
E_i|\varepsilon_i|S\Delta t
=\rho_iSc_i\Delta t\,c_i|\varepsilon_i|.
=\rho_iSc_i\Delta t\,c_i|\varepsilon_i|.
$$
$$
После сокращения одинаковых множителей получаем школьную связь для продольной волны
После сокращения одинаковых множителей получаем школьную связь для продольной волны
$$
$$
c_i^2=\frac{E_i}{\rho_i}.
c_i^2=\frac{E_i}{\rho_i}.
$$
$$
Следовательно,
Следовательно,
$$
$$
F_i=SE_i|\varepsilon_i|
F_i=SE_i|\varepsilon_i|
=S\rho_i c_i|u_i-U|.
=S\rho_i c_i|u_i-U|.
$$
$$
По третьему закону Ньютона силы в месте контакта равны. С учётом $u_1>U>u_2$ имеем
По третьему закону Ньютона силы в месте контакта равны. С учётом $u_1>U>u_2$ имеем
$$
$$
\rho_1c_1S(u_1-U)=\rho_2c_2S(U-u_2),
\rho_1c_1S(u_1-U)=\rho_2c_2S(U-u_2),
$$
$$
откуда
откуда
$$
$$
U=\frac{\rho_1c_1u_1+\rho_2c_2u_2}
U=\frac{\rho_1c_1u_1+\rho_2c_2u_2}
{\rho_1c_1+\rho_2c_2}.
{\rho_1c_1+\rho_2c_2}.
$$
$$
Из условия $l_1/l_2=c_1/c_2$ следует $l_1/c_1=l_2/c_2$. Обозначим это общее время прохождения волной стержня через $\tau$:
Из условия $l_1/l_2=c_1/c_2$ следует $l_1/c_1=l_2/c_2$. Обозначим это общее время прохождения волной стержня через $\tau$:
$$
$$
\tau=\frac{l_1}{c_1}=\frac{l_2}{c_2}.
\tau=\frac{l_1}{c_1}=\frac{l_2}{c_2}.
$$
$$
Значит, волны сжатия одновременно достигают свободных концов, а отражённые волны растяжения одновременно возвращаются к месту контакта.
Значит, волны сжатия одновременно достигают свободных концов, а отражённые волны растяжения одновременно возвращаются к месту контакта.
@@ -58,7 +58,7 @@Решение
На расчётном чертеже $t$ обозначает время, а $\xi$ — координату, отсчитываемую вдоль недеформированных стержней. Поэтому их свободные концы изображены при $\xi=-l_1$ и $\xi=l_2$.
На расчётном чертеже $t$ обозначает время, а $\xi$ — координату, отсчитываемую вдоль недеформированных стержней. Поэтому их свободные концы изображены при $\xi=-l_1$ и $\xi=l_2$.
У свободного конца сила равна нулю. Поэтому отражённая волна растяжения снимает деформацию, а вызванное ею изменение скорости равно по величине и совпадает по направлению с изменением скорости в падающей волне. Обозначим конечную скорость $i$-го стержня через $v_i$. После возвращения отражённых волн стержни снова не деформированы, и
У свободного конца сила равна нулю. Поэтому отражённая волна растяжения снимает деформацию, а вызванное ею изменение скорости равно по величине и совпадает по направлению с изменением скорости в падающей волне. Обозначим конечную скорость $i$-го стержня через $v_i$. После возвращения отражённых волн стержни снова не деформированы, и
$$
$$
v_1=2U-u_1,
v_1=2U-u_1,
\qquad
\qquad
v_2=2U-u_2.
v_2=2U-u_2.
$$
$$
Подставляя найденную скорость $U$, получаем
Подставляя найденную скорость $U$, получаем
$$
$$
v_1=\frac{(\rho_1c_1-\rho_2c_2)u_1+2\rho_2c_2u_2}
v_1=\frac{(\rho_1c_1-\rho_2c_2)u_1+2\rho_2c_2u_2}
{\rho_1c_1+\rho_2c_2},
{\rho_1c_1+\rho_2c_2},
\qquad
\qquad
v_2=\frac{2\rho_1c_1u_1+(\rho_2c_2-\rho_1c_1)u_2}
v_2=\frac{2\rho_1c_1u_1+(\rho_2c_2-\rho_1c_1)u_2}
{\rho_1c_1+\rho_2c_2}.
{\rho_1c_1+\rho_2c_2}.
$$
$$
Обозначим массу $i$-го стержня через $m_i$. Поскольку $m_i=\rho_iSl_i$, условие на длины даёт
Обозначим массу $i$-го стержня через $m_i$. Поскольку $m_i=\rho_iSl_i$, условие на длины даёт
$$
$$
\frac{m_1}{m_2}
\frac{m_1}{m_2}
=\frac{\rho_1l_1}{\rho_2l_2}
=\frac{\rho_1l_1}{\rho_2l_2}
=\frac{\rho_1c_1}{\rho_2c_2}.
=\frac{\rho_1c_1}{\rho_2c_2}.
$$
$$
Следовательно, конечные скорости можно записать так:
Следовательно, конечные скорости можно записать так:
$$
$$
v_1=\frac{(m_1-m_2)u_1+2m_2u_2}{m_1+m_2},
v_1=\frac{(m_1-m_2)u_1+2m_2u_2}{m_1+m_2},
\qquad
\qquad
v_2=\frac{2m_1u_1+(m_2-m_1)u_2}{m_1+m_2}.
v_2=\frac{2m_1u_1+(m_2-m_1)u_2}{m_1+m_2}.
$$
$$
Это в точности формулы лобового абсолютно упругого удара. Кроме того, $v_2-v_1=u_1-u_2>0$, поэтому после возвращения отражённых волн стержни расходятся и контакт прекращается.
Это в точности формулы лобового абсолютно упругого удара. Кроме того, $v_2-v_1=u_1-u_2>0$, поэтому после возвращения отражённых волн стержни расходятся и контакт прекращается.
#### Ответ
#### Ответ
при $l_1/l_2=c_1/c_2$ результат столкновения совпадает с результатом абсолютно упругого удара тел масс $m_1$ и $m_2$:
при $l_1/l_2=c_1/c_2$ результат столкновения совпадает с результатом абсолютно упругого удара тел масс $m_1$ и $m_2$:
