Новое решение
ru/14.4.4.md
+165 −0
| @@ -0,0 +1,165 @@ | |||
| + | ### Условие | ||
| + | |||
| + | $14.4.4.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | |||
| + | ### Решение | ||
| + | |||
| + | |||
| + | \noindent\textbf{14.4.4.} Во сколько раз изменится время движения электрона | ||
| + | в задаче 14.4.3, если конденсатор и испущенные электроны двигаются со | ||
| + | скоростью $u$: а) поперек пластин? б) параллельно пластинам? Чему равны в | ||
| + | случаях а) и б) скорости электронов на второй пластине? | ||
| + | |||
| + | \begin{center} | ||
| + | \textbf{Решение} | ||
| + | \end{center} | ||
| + | |||
| + | Пусть $K'$ --- система отсчёта конденсатора, а $K$ --- лабораторная система. | ||
| + | Ось $x'$ направим по нормали к пластинам в сторону движения электрона, а ось | ||
| + | $y'$ --- вдоль пластин; параллельные им оси системы $K$ обозначим через $x$ | ||
| + | и $y$. Показания часов в системах $K'$ и $K$ обозначим соответственно через | ||
| + | $t'$ и $t$. В системе $K'$ электрон проходит расстояние $d$ за | ||
| + | время $\tau$ и достигает второй пластины со скоростью $v$. Через $c$ обозначим | ||
| + | скорость света, через $m_e$ --- массу покоя электрона, через $e$ --- модуль его | ||
| + | заряда, а через $E$ --- модуль напряжённости поля конденсатора. | ||
| + | |||
| + | Сначала выразим расстояние $d$ через данные задачи. Работа электрического поля | ||
| + | $eEd$ равна приращению энергии электрона; здесь $\gamma_v$ --- множитель | ||
| + | Лоренца, соответствующий скорости $v$: | ||
| + | \[ | ||
| + | eEd=(\gamma_v-1)m_ec^2, | ||
| + | \qquad | ||
| + | \gamma_v=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. | ||
| + | \] | ||
| + | Импульс электрона за время $\tau$ изменяется от нуля до $\gamma_vm_ev$, | ||
| + | поэтому | ||
| + | \[ | ||
| + | eE\tau=\gamma_vm_ev. | ||
| + | \] | ||
| + | Разделив первое равенство на второе, получим | ||
| + | \[ | ||
| + | d=\frac{c^2\tau}{v}\left(1-\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right). | ||
| + | \] | ||
| + | |||
| + | Расчётный чертёж показывает направления скорости конденсатора в обоих | ||
| + | случаях. Точка $A$ --- место испускания электрона, точка $B$ --- место его | ||
| + | попадания на вторую пластину. Штриховая стрелка изображает движение электрона | ||
| + | в системе $K'$. | ||
| + | |||
| + | \begin{center} | ||
| + | \begin{tikzpicture}[x=0.9cm,y=0.9cm,>=Latex,font=\small] | ||
| + | % Case a | ||
| + | \begin{scope}[shift={(0,0)}] | ||
| + | \draw[thick] (0,-1.35)--(0,1.35); | ||
| + | \draw[thick] (3,-1.35)--(3,1.35); | ||
| + | \fill (0,0) circle (1.6pt) node[left=4pt] {$A$}; | ||
| + | \fill (3,0) circle (1.6pt) node[right=4pt] {$B$}; | ||
| + | \draw[dashed,->] (0.25,0)--(2.45,0) node[midway,above] {$v$}; | ||
| + | \draw[very thick,blue!70!black,->] (0,-1.75)--(2.0,-1.75) | ||
| + | node[midway,below] {$u$}; | ||
| + | \node at (1.5,1.75) {а)}; | ||
| + | \node[below] at (1.5,-2.25) {$u\perp$ пластинам}; | ||
| + | \end{scope} | ||
| + | |||
| + | % Case b | ||
| + | \begin{scope}[shift={(7.2,0)}] | ||
| + | \draw[thick] (0,-1.35)--(0,1.35); | ||
| + | \draw[thick] (3,-1.35)--(3,1.35); | ||
| + | \fill (0,0) circle (1.6pt) node[left=4pt] {$A$}; | ||
| + | \fill (3,0) circle (1.6pt) node[right=4pt] {$B$}; | ||
| + | \draw[dashed,->] (0.25,0)--(2.45,0) node[midway,above] {$v$}; | ||
| + | \draw[very thick,blue!70!black,->] (1.5,-1.15)--(1.5,0.65) | ||
| + | node[right=3pt] {$u$}; | ||
| + | \node at (1.5,1.75) {б)}; | ||
| + | \node[below] at (1.5,-2.25) {$u\parallel$ пластинам}; | ||
| + | \end{scope} | ||
| + | \end{tikzpicture} | ||
| + | |||
| + | \textit{Расчётный чертёж} | ||
| + | \end{center} | ||
| + | |||
| + | Обозначим через $\gamma_u$ множитель Лоренца, соответствующий скорости $u$: | ||
| + | \[ | ||
| + | \gamma_u=\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}}. | ||
| + | \] | ||
| + | Если система $K'$ движется относительно $K$ вдоль некоторой оси $s$ со | ||
| + | скоростью $u$, обозначим через $\Delta t$ интервал между двумя событиями в | ||
| + | лабораторной системе $K$, через $\Delta t'$ --- интервал между теми же | ||
| + | событиями в системе $K'$, а через $\Delta s'$ --- изменение координаты вдоль | ||
| + | направления относительного движения систем в системе $K'$. Тогда | ||
| + | преобразования Лоренца дают | ||
| + | \[ | ||
| + | \Delta t=\gamma_u\left(\Delta t' | ||
| + | +\frac{u\,\Delta s'}{c^2}\right). | ||
| + | \] | ||
| + | |||
| + | \textbf{а) Конденсатор движется поперек пластин.} | ||
| + | Будем считать, что скорость $u$ направлена вдоль $x'$ в сторону движения | ||
| + | электрона. Поэтому между событиями | ||
| + | испускания и попадания электрона на вторую пластину | ||
| + | $\Delta t'=\tau$, а изменение координаты $x'$ равно $\Delta x'=d$. | ||
| + | Следовательно, лабораторное время движения | ||
| + | $t_a$ равно | ||
| + | \[ | ||
| + | t_a=\gamma_u\left(\tau+\frac{ud}{c^2}\right) | ||
| + | =\frac{\tau}{\sqrt{1-u^2/c^2}} | ||
| + | \left[1+\frac{u}{v} | ||
| + | \left(1-\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)\right]. | ||
| + | \] | ||
| + | Чтобы найти скорость на второй пластине, запишем преобразования | ||
| + | $x=\gamma_u(x'+ut')$ и | ||
| + | $t=\gamma_u(t'+ux'/c^2)$ и разделим их приращения. Получаем скорость | ||
| + | $v_a$ электрона в системе $K$: | ||
| + | \[ | ||
| + | v_a=\frac{v+u}{1+uv/c^2}. | ||
| + | \] | ||
| + | |||
| + | \textbf{б) Конденсатор движется параллельно пластинам.} | ||
| + | Теперь скорость $u$ направлена вдоль $y'$, а для двух рассматриваемых событий | ||
| + | изменение координаты $y'$ равно $\Delta y'=0$. Поэтому лабораторное время | ||
| + | движения $t_b$ равно | ||
| + | \[ | ||
| + | t_b=\gamma_u\tau=\frac{\tau}{\sqrt{1-u^2/c^2}}. | ||
| + | \] | ||
| + | Из преобразований | ||
| + | $y=\gamma_u(y'+ut')$, $t=\gamma_u(t'+uy'/c^2)$ и $x=x'$ следует, что на | ||
| + | второй пластине компоненты скорости электрона в системе $K$ равны | ||
| + | \[ | ||
| + | v_x=\frac{v}{\gamma_u}, | ||
| + | \qquad | ||
| + | v_y=u. | ||
| + | \] | ||
| + | Следовательно, модуль его скорости $v_b$ равен | ||
| + | \[ | ||
| + | v_b=\sqrt{v_x^2+v_y^2} | ||
| + | =\sqrt{v^2+u^2-\frac{v^2u^2}{c^2}}. | ||
| + | \] | ||
| + | |||
| + | \par\medskip | ||
| + | \noindent\textbf{Ответ:} а) время увеличится в | ||
| + | \[ | ||
| + | \boxed{\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}} | ||
| + | \left[1+\frac{u}{v} | ||
| + | \left(1-\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)\right]} | ||
| + | \] | ||
| + | раза, а | ||
| + | \[ | ||
| + | \boxed{v_a=\frac{v+u}{1+uv/c^2}}; | ||
| + | \] | ||
| + | б) время увеличится в | ||
| + | \[ | ||
| + | \boxed{\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}}} | ||
| + | \] | ||
| + | раза, а | ||
| + | \[ | ||
| + | \boxed{v_b=\sqrt{v^2+u^2-\frac{v^2u^2}{c^2}}}. | ||
| + | \] | ||
| + | |||
| + | \noindent\warningmark\; В ответах сборника эти две пары формул напечатаны под | ||
| + | переставленными обозначениями пунктов а) и б). Приведённый здесь ответ | ||
| + | соответствует направлениям движения, указанным в условии. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | #### Ответ | ||
| + | |||
| + | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| @@ -0,0 +1,165 @@ | |||
| ### Условие | |||
| $14.4.4.$ [Вставьте условие задачи] | |||
| ### Решение | |||
| \noindent\textbf{14.4.4.} Во сколько раз изменится время движения электрона | |||
| в задаче 14.4.3, если конденсатор и испущенные электроны двигаются со | |||
| скоростью $u$: а) поперек пластин? б) параллельно пластинам? Чему равны в | |||
| случаях а) и б) скорости электронов на второй пластине? | |||
| \begin{center} | |||
| \textbf{Решение} | |||
| \end{center} | |||
| Пусть $K'$ --- система отсчёта конденсатора, а $K$ --- лабораторная система. | |||
| Ось $x'$ направим по нормали к пластинам в сторону движения электрона, а ось | |||
| $y'$ --- вдоль пластин; параллельные им оси системы $K$ обозначим через $x$ | |||
| и $y$. Показания часов в системах $K'$ и $K$ обозначим соответственно через | |||
| $t'$ и $t$. В системе $K'$ электрон проходит расстояние $d$ за | |||
| время $\tau$ и достигает второй пластины со скоростью $v$. Через $c$ обозначим | |||
| скорость света, через $m_e$ --- массу покоя электрона, через $e$ --- модуль его | |||
| заряда, а через $E$ --- модуль напряжённости поля конденсатора. | |||
| Сначала выразим расстояние $d$ через данные задачи. Работа электрического поля | |||
| $eEd$ равна приращению энергии электрона; здесь $\gamma_v$ --- множитель | |||
| Лоренца, соответствующий скорости $v$: | |||
| \[ | |||
| eEd=(\gamma_v-1)m_ec^2, | |||
| \qquad | |||
| \gamma_v=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. | |||
| \] | |||
| Импульс электрона за время $\tau$ изменяется от нуля до $\gamma_vm_ev$, | |||
| поэтому | |||
| \[ | |||
| eE\tau=\gamma_vm_ev. | |||
| \] | |||
| Разделив первое равенство на второе, получим | |||
| \[ | |||
| d=\frac{c^2\tau}{v}\left(1-\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right). | |||
| \] | |||
| Расчётный чертёж показывает направления скорости конденсатора в обоих | |||
| случаях. Точка $A$ --- место испускания электрона, точка $B$ --- место его | |||
| попадания на вторую пластину. Штриховая стрелка изображает движение электрона | |||
| в системе $K'$. | |||
| \begin{center} | |||
| \begin{tikzpicture}[x=0.9cm,y=0.9cm,>=Latex,font=\small] | |||
| % Case a | |||
| \begin{scope}[shift={(0,0)}] | |||
| \draw[thick] (0,-1.35)--(0,1.35); | |||
| \draw[thick] (3,-1.35)--(3,1.35); | |||
| \fill (0,0) circle (1.6pt) node[left=4pt] {$A$}; | |||
| \fill (3,0) circle (1.6pt) node[right=4pt] {$B$}; | |||
| \draw[dashed,->] (0.25,0)--(2.45,0) node[midway,above] {$v$}; | |||
| \draw[very thick,blue!70!black,->] (0,-1.75)--(2.0,-1.75) | |||
| node[midway,below] {$u$}; | |||
| \node at (1.5,1.75) {а)}; | |||
| \node[below] at (1.5,-2.25) {$u\perp$ пластинам}; | |||
| \end{scope} | |||
| % Case b | |||
| \begin{scope}[shift={(7.2,0)}] | |||
| \draw[thick] (0,-1.35)--(0,1.35); | |||
| \draw[thick] (3,-1.35)--(3,1.35); | |||
| \fill (0,0) circle (1.6pt) node[left=4pt] {$A$}; | |||
| \fill (3,0) circle (1.6pt) node[right=4pt] {$B$}; | |||
| \draw[dashed,->] (0.25,0)--(2.45,0) node[midway,above] {$v$}; | |||
| \draw[very thick,blue!70!black,->] (1.5,-1.15)--(1.5,0.65) | |||
| node[right=3pt] {$u$}; | |||
| \node at (1.5,1.75) {б)}; | |||
| \node[below] at (1.5,-2.25) {$u\parallel$ пластинам}; | |||
| \end{scope} | |||
| \end{tikzpicture} | |||
| \textit{Расчётный чертёж} | |||
| \end{center} | |||
| Обозначим через $\gamma_u$ множитель Лоренца, соответствующий скорости $u$: | |||
| \[ | |||
| \gamma_u=\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}}. | |||
| \] | |||
| Если система $K'$ движется относительно $K$ вдоль некоторой оси $s$ со | |||
| скоростью $u$, обозначим через $\Delta t$ интервал между двумя событиями в | |||
| лабораторной системе $K$, через $\Delta t'$ --- интервал между теми же | |||
| событиями в системе $K'$, а через $\Delta s'$ --- изменение координаты вдоль | |||
| направления относительного движения систем в системе $K'$. Тогда | |||
| преобразования Лоренца дают | |||
| \[ | |||
| \Delta t=\gamma_u\left(\Delta t' | |||
| +\frac{u\,\Delta s'}{c^2}\right). | |||
| \] | |||
| \textbf{а) Конденсатор движется поперек пластин.} | |||
| Будем считать, что скорость $u$ направлена вдоль $x'$ в сторону движения | |||
| электрона. Поэтому между событиями | |||
| испускания и попадания электрона на вторую пластину | |||
| $\Delta t'=\tau$, а изменение координаты $x'$ равно $\Delta x'=d$. | |||
| Следовательно, лабораторное время движения | |||
| $t_a$ равно | |||
| \[ | |||
| t_a=\gamma_u\left(\tau+\frac{ud}{c^2}\right) | |||
| =\frac{\tau}{\sqrt{1-u^2/c^2}} | |||
| \left[1+\frac{u}{v} | |||
| \left(1-\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)\right]. | |||
| \] | |||
| Чтобы найти скорость на второй пластине, запишем преобразования | |||
| $x=\gamma_u(x'+ut')$ и | |||
| $t=\gamma_u(t'+ux'/c^2)$ и разделим их приращения. Получаем скорость | |||
| $v_a$ электрона в системе $K$: | |||
| \[ | |||
| v_a=\frac{v+u}{1+uv/c^2}. | |||
| \] | |||
| \textbf{б) Конденсатор движется параллельно пластинам.} | |||
| Теперь скорость $u$ направлена вдоль $y'$, а для двух рассматриваемых событий | |||
| изменение координаты $y'$ равно $\Delta y'=0$. Поэтому лабораторное время | |||
| движения $t_b$ равно | |||
| \[ | |||
| t_b=\gamma_u\tau=\frac{\tau}{\sqrt{1-u^2/c^2}}. | |||
| \] | |||
| Из преобразований | |||
| $y=\gamma_u(y'+ut')$, $t=\gamma_u(t'+uy'/c^2)$ и $x=x'$ следует, что на | |||
| второй пластине компоненты скорости электрона в системе $K$ равны | |||
| \[ | |||
| v_x=\frac{v}{\gamma_u}, | |||
| \qquad | |||
| v_y=u. | |||
| \] | |||
| Следовательно, модуль его скорости $v_b$ равен | |||
| \[ | |||
| v_b=\sqrt{v_x^2+v_y^2} | |||
| =\sqrt{v^2+u^2-\frac{v^2u^2}{c^2}}. | |||
| \] | |||
| \par\medskip | |||
| \noindent\textbf{Ответ:} а) время увеличится в | |||
| \[ | |||
| \boxed{\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}} | |||
| \left[1+\frac{u}{v} | |||
| \left(1-\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)\right]} | |||
| \] | |||
| раза, а | |||
| \[ | |||
| \boxed{v_a=\frac{v+u}{1+uv/c^2}}; | |||
| \] | |||
| б) время увеличится в | |||
| \[ | |||
| \boxed{\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}}} | |||
| \] | |||
| раза, а | |||
| \[ | |||
| \boxed{v_b=\sqrt{v^2+u^2-\frac{v^2u^2}{c^2}}}. | |||
| \] | |||
| \noindent\warningmark\; В ответах сборника эти две пары формул напечатаны под | |||
| переставленными обозначениями пунктов а) и б). Приведённый здесь ответ | |||
| соответствует направлениям движения, указанным в условии. | |||
| #### Ответ | |||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | |||