$6.5.3.$ Чему равна поверхностная плотность заряда и электрическое давление на границе раздела двух полей напряженности $E$ и $2E$?$E$ и $-2E$? Поверхностная плотность заряда во втором случае в три раза больше. Почему же электрическое давление в обоих случаях одинаково?
Решение
Запишем граничные условия для нормальных компонент вектора электрического смещения (индукции): $$D_{2n} - D_{1n} = \sigma$$ где $\sigma$ — поверхностная плотность свободного заряда на границе. Поскольку $D = \varepsilon_0 E$, для первого случая ($E_1 = E$,$E_2 = 2E$) имеем: $$\sigma = \varepsilon_0 E_2 - \varepsilon_0 E_1 = \varepsilon_0 (2E) - \varepsilon_0 E = \varepsilon_0 E$$
Для нахождения давления рассмотрим тонкий цилиндрический слой на границе раздела сред. Выделим участок поверхности с зарядом $\Delta q = \sigma \Delta S$. Поле, создаваемое самим этим участком, обозначим $E_0$, а поле всех остальных зарядов системы (внешнее поле) — $E_0'$. Согласно принципу суперпозиции, полные поля по обе стороны от границы равны: $$E_2 = E_0' + E_0 = 2E$$ $$E_1 = E_0' - E_0 = E$$ Складывая эти уравнения, найдем внешнее поле $E_0'$: $$2E_0' = 3E \implies E_0' = \frac{3}{2}E$$ Сила, действующая на выделенный участок: $$\Delta F = \sigma \Delta S E_0'$$ Электрическое давление на границу раздела: $$P = \frac{\Delta F}{\Delta S} = \sigma E_0' = (\varepsilon_0 E)\left(\frac{3}{2}E\right) = \frac{3\varepsilon_0 E^2}{2}$$
Рассмотрим второй случай ($E_1 = E$,$E_2 = -2E$): $$\sigma = \varepsilon_0 E_2 - \varepsilon_0 E_1 = \varepsilon_0 (-2E) - \varepsilon_0 E = -3\varepsilon_0 E$$ Внешнее поле в этом случае: $$E_0' = \frac{E_1 + E_2}{2} = \frac{E - 2E}{2} = -\frac{1}{2}E$$ Давление: $$P = \sigma E_0' = (-3\varepsilon_0 E)\left(-\frac{1}{2}E\right) = \frac{3\varepsilon_0 E^2}{2}$$
Почему давление одинаково? Мы можем получить общую формулу для давления $P$, используя аналогичные рассуждения. Подставляя $E_0' = \frac{E_1 + E_2}{2}$ и $\sigma = \varepsilon_0(E_2 - E_1)$: $$P = \sigma E_0' = \varepsilon_0(E_2 - E_1)\frac{E_1 + E_2}{2} = \frac{\varepsilon_0(E_2^2 - E_1^2)}{2}$$ Из полученного выражения видно, что давление зависит от квадратов напряженностей поля. Поэтому изменение знака $E_2$ не влияет на величину давления.