Правка раздела «Решение»
ru/6.5.3.md
+2 −0
| ### Условие | |||
| $6.5.3.$ Чему равна поверхностная плотность заряда и электрическое давление на границе раздела двух полей напряженности $E$ и $2E$? $E$ и $-2E$? Поверхностная плотность заряда во втором случае в три раза больше. Почему же электрическое давление в обоих случаях одинаково? | |||
| @@ -4,6 +4,8 @@Условие | |||
| ### Решение | |||
| + |  | ||
| + | |||
| Запишем граничные условия для нормальных компонент вектора электрического смещения (индукции): | |||
| $$D_{2n} - D_{1n} = \sigma$$ | |||
| где $\sigma$ — поверхностная плотность свободного заряда на границе. | |||
| Поскольку $D = \varepsilon_0 E$, для первого случая ($E_1 = E$, $E_2 = 2E$) имеем: | |||
| $$\sigma = \varepsilon_0 E_2 - \varepsilon_0 E_1 = \varepsilon_0 (2E) - \varepsilon_0 E = \varepsilon_0 E$$ | |||
| Для нахождения давления рассмотрим тонкий цилиндрический слой на границе раздела сред. Выделим участок поверхности с зарядом $\Delta q = \sigma \Delta S$. Поле, создаваемое самим этим участком, обозначим $E_0$, а поле всех остальных зарядов системы (внешнее поле) — $E_0'$. | |||
| Согласно принципу суперпозиции, полные поля по обе стороны от границы равны: | |||
| $$E_2 = E_0' + E_0 = 2E$$ | |||
| $$E_1 = E_0' - E_0 = E$$ | |||
| Складывая эти уравнения, найдем внешнее поле $E_0'$: | |||
| $$2E_0' = 3E \implies E_0' = \frac{3}{2}E$$ | |||
| Сила, действующая на выделенный участок: | |||
| $$\Delta F = \sigma \Delta S E_0'$$ | |||
| Электрическое давление на границу раздела: | |||
| $$P = \frac{\Delta F}{\Delta S} = \sigma E_0' = (\varepsilon_0 E)\left(\frac{3}{2}E\right) = \frac{3\varepsilon_0 E^2}{2}$$ | |||
| Рассмотрим второй случай ($E_1 = E$, $E_2 = -2E$): | |||
| $$\sigma = \varepsilon_0 E_2 - \varepsilon_0 E_1 = \varepsilon_0 (-2E) - \varepsilon_0 E = -3\varepsilon_0 E$$ | |||
| Внешнее поле в этом случае: | |||
| $$E_0' = \frac{E_1 + E_2}{2} = \frac{E - 2E}{2} = -\frac{1}{2}E$$ | |||
| Давление: | |||
| $$P = \sigma E_0' = (-3\varepsilon_0 E)\left(-\frac{1}{2}E\right) = \frac{3\varepsilon_0 E^2}{2}$$ | |||
| <b>Почему давление одинаково?</b> | |||
| Мы можем получить общую формулу для давления $P$, используя аналогичные рассуждения. Подставляя $E_0' = \frac{E_1 + E_2}{2}$ и $\sigma = \varepsilon_0(E_2 - E_1)$: | |||
| $$P = \sigma E_0' = \varepsilon_0(E_2 - E_1)\frac{E_1 + E_2}{2} = \frac{\varepsilon_0(E_2^2 - E_1^2)}{2}$$ | |||
| Из полученного выражения видно, что давление зависит от квадратов напряженностей поля. Поэтому изменение знака $E_2$ не влияет на величину давления. | |||
| #### Ответ | |||
| а) $\sigma = \varepsilon_0 E$; $P = \frac{3\varepsilon_0 E^2}{2}$ | |||
| б) $\sigma = -3\varepsilon_0 E$; $P = \frac{3\varepsilon_0 E^2}{2}$ | |||
| ещё строк без изменений 30 | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $6.5.3.$ Чему равна поверхностная плотность заряда и электрическое давление на границе раздела двух полей напряженности $E$ и $2E$? $E$ и $-2E$? Поверхностная плотность заряда во втором случае в три раза больше. Почему же электрическое давление в обоих случаях одинаково? | $6.5.3.$ Чему равна поверхностная плотность заряда и электрическое давление на границе раздела двух полей напряженности $E$ и $2E$? $E$ и $-2E$? Поверхностная плотность заряда во втором случае в три раза больше. Почему же электрическое давление в обоих случаях одинаково? | ||
| @@ -4,6 +4,8 @@Условие | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
|  | |||
| Запишем граничные условия для нормальных компонент вектора электрического смещения (индукции): | Запишем граничные условия для нормальных компонент вектора электрического смещения (индукции): | ||
| $$D_{2n} - D_{1n} = \sigma$$ | $$D_{2n} - D_{1n} = \sigma$$ | ||
| где $\sigma$ — поверхностная плотность свободного заряда на границе. | где $\sigma$ — поверхностная плотность свободного заряда на границе. | ||
| Поскольку $D = \varepsilon_0 E$, для первого случая ($E_1 = E$, $E_2 = 2E$) имеем: | Поскольку $D = \varepsilon_0 E$, для первого случая ($E_1 = E$, $E_2 = 2E$) имеем: | ||
| $$\sigma = \varepsilon_0 E_2 - \varepsilon_0 E_1 = \varepsilon_0 (2E) - \varepsilon_0 E = \varepsilon_0 E$$ | $$\sigma = \varepsilon_0 E_2 - \varepsilon_0 E_1 = \varepsilon_0 (2E) - \varepsilon_0 E = \varepsilon_0 E$$ | ||
| Для нахождения давления рассмотрим тонкий цилиндрический слой на границе раздела сред. Выделим участок поверхности с зарядом $\Delta q = \sigma \Delta S$. Поле, создаваемое самим этим участком, обозначим $E_0$, а поле всех остальных зарядов системы (внешнее поле) — $E_0'$. | Для нахождения давления рассмотрим тонкий цилиндрический слой на границе раздела сред. Выделим участок поверхности с зарядом $\Delta q = \sigma \Delta S$. Поле, создаваемое самим этим участком, обозначим $E_0$, а поле всех остальных зарядов системы (внешнее поле) — $E_0'$. | ||
| Согласно принципу суперпозиции, полные поля по обе стороны от границы равны: | Согласно принципу суперпозиции, полные поля по обе стороны от границы равны: | ||
| $$E_2 = E_0' + E_0 = 2E$$ | $$E_2 = E_0' + E_0 = 2E$$ | ||
| $$E_1 = E_0' - E_0 = E$$ | $$E_1 = E_0' - E_0 = E$$ | ||
| Складывая эти уравнения, найдем внешнее поле $E_0'$: | Складывая эти уравнения, найдем внешнее поле $E_0'$: | ||
| $$2E_0' = 3E \implies E_0' = \frac{3}{2}E$$ | $$2E_0' = 3E \implies E_0' = \frac{3}{2}E$$ | ||
| Сила, действующая на выделенный участок: | Сила, действующая на выделенный участок: | ||
| $$\Delta F = \sigma \Delta S E_0'$$ | $$\Delta F = \sigma \Delta S E_0'$$ | ||
| Электрическое давление на границу раздела: | Электрическое давление на границу раздела: | ||
| $$P = \frac{\Delta F}{\Delta S} = \sigma E_0' = (\varepsilon_0 E)\left(\frac{3}{2}E\right) = \frac{3\varepsilon_0 E^2}{2}$$ | $$P = \frac{\Delta F}{\Delta S} = \sigma E_0' = (\varepsilon_0 E)\left(\frac{3}{2}E\right) = \frac{3\varepsilon_0 E^2}{2}$$ | ||
| Рассмотрим второй случай ($E_1 = E$, $E_2 = -2E$): | Рассмотрим второй случай ($E_1 = E$, $E_2 = -2E$): | ||
| $$\sigma = \varepsilon_0 E_2 - \varepsilon_0 E_1 = \varepsilon_0 (-2E) - \varepsilon_0 E = -3\varepsilon_0 E$$ | $$\sigma = \varepsilon_0 E_2 - \varepsilon_0 E_1 = \varepsilon_0 (-2E) - \varepsilon_0 E = -3\varepsilon_0 E$$ | ||
| Внешнее поле в этом случае: | Внешнее поле в этом случае: | ||
| $$E_0' = \frac{E_1 + E_2}{2} = \frac{E - 2E}{2} = -\frac{1}{2}E$$ | $$E_0' = \frac{E_1 + E_2}{2} = \frac{E - 2E}{2} = -\frac{1}{2}E$$ | ||
| Давление: | Давление: | ||
| $$P = \sigma E_0' = (-3\varepsilon_0 E)\left(-\frac{1}{2}E\right) = \frac{3\varepsilon_0 E^2}{2}$$ | $$P = \sigma E_0' = (-3\varepsilon_0 E)\left(-\frac{1}{2}E\right) = \frac{3\varepsilon_0 E^2}{2}$$ | ||
| <b>Почему давление одинаково?</b> | <b>Почему давление одинаково?</b> | ||
| Мы можем получить общую формулу для давления $P$, используя аналогичные рассуждения. Подставляя $E_0' = \frac{E_1 + E_2}{2}$ и $\sigma = \varepsilon_0(E_2 - E_1)$: | Мы можем получить общую формулу для давления $P$, используя аналогичные рассуждения. Подставляя $E_0' = \frac{E_1 + E_2}{2}$ и $\sigma = \varepsilon_0(E_2 - E_1)$: | ||
| $$P = \sigma E_0' = \varepsilon_0(E_2 - E_1)\frac{E_1 + E_2}{2} = \frac{\varepsilon_0(E_2^2 - E_1^2)}{2}$$ | $$P = \sigma E_0' = \varepsilon_0(E_2 - E_1)\frac{E_1 + E_2}{2} = \frac{\varepsilon_0(E_2^2 - E_1^2)}{2}$$ | ||
| Из полученного выражения видно, что давление зависит от квадратов напряженностей поля. Поэтому изменение знака $E_2$ не влияет на величину давления. | Из полученного выражения видно, что давление зависит от квадратов напряженностей поля. Поэтому изменение знака $E_2$ не влияет на величину давления. | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| а) $\sigma = \varepsilon_0 E$; $P = \frac{3\varepsilon_0 E^2}{2}$ | а) $\sigma = \varepsilon_0 E$; $P = \frac{3\varepsilon_0 E^2}{2}$ | ||
| б) $\sigma = -3\varepsilon_0 E$; $P = \frac{3\varepsilon_0 E^2}{2}$ | б) $\sigma = -3\varepsilon_0 E$; $P = \frac{3\varepsilon_0 E^2}{2}$ | ||
| ещё строк без изменений 30 | |||