Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/3.4.19.md
+5 −13
| @@ -1,16 +1,12 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $3.4.19.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| − | |||
| − | ### Решение | ||
| − | |||
| − | ### Условие | ||
| − | |||
| $3.4.19.$ На рисунке изображен график зависимости координаты от времени для движения, являющегося суммой двух гармонических колебаний. Определите по нему амплитуды и частоты этих колебаний. | |||
| + |  | ||
| + | |||
| ### Решение | |||
| − | <b>1. Анализ огибающей и определение амплитуд</b> | ||
| + | <b>1. Анализ огибающей и определение амплитуд</b>\ | ||
| Данный график иллюстрирует классическое явление биений, возникающее при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами ($\omega_1\approx\omega_2$). Общее уравнение движения можно записать как: | |||
| $$x(t)=a_1\sin(\omega_1t)+a_2\sin(\omega_2t)$$ | |||
| Исследуя график, мы можем выделить максимальную и минимальную амплитуды огибающей: | |||
| — <b>Максимум огибающей ($A$):</b> Возникает при конструктивной интерференции (колебания в фазе): | |||
| $$A_{\max}=a_1+a_2=A$$ | |||
| — <b>Минимум огибающей (узкое «горлышко» $B$):</b> Возникает при деструктивной интерференции (колебания в противофазе): | |||
| $$A_{\min}=|a_1-a_2|=B$$ | |||
| @@ -23,15 +19,15 @@Решение | |||
| Решая эту простую алгебраическую систему, найдем амплитуды исходных колебаний $a_1$ и $a_2$ (полагая $a_1>a_2$): | |||
| $$a_1=\frac{A+B}{2}, \quad a_2=\frac{A-B}{2}$$ | |||
| − | <b>2. Анализ периодов и определение частот</b> | ||
| + | <b>2. Анализ периодов и определение частот</b>\ | ||
| Из графика мы можем определить два временных интервала: | |||
| — <b>Период быстрых колебаний ($\tau$):</b> Это время одного полного цикла внутреннего высокочастотного колебания (несущей частоты). Оно связано со средней частотой двух складываемых колебаний: | |||
| $$\tau=\frac{2\pi}{\omega_{\text{avg}}}=\frac{4\pi}{\omega_1+\omega_2}$$ | |||
| — <b>Период биений ($T$):</b> Это интервал времени между двумя последовательными узлами (или пучностями) огибающей. Он определяется разностью частот: | |||
| $$T=\frac{2\pi}{\omega_{\text{beat}}}=\frac{2\pi}{|\omega_1-\omega_2|}$$ | |||
| − | <b>3. Изоляция $\omega_1$ и $\omega_2$</b> | ||
| + | <b>3. Изоляция $\omega_1$ и $\omega_2$</b>\ | ||
| Из полученных периодов мы можем составить систему для суммы и разности частот: | |||
| $$\omega_1+\omega_2=\frac{4\pi}{\tau}$$ | |||
| $$\omega_1-\omega_2=\frac{2\pi}{T}$$ | |||
| Сложив уравнения и разделив на 2, получим $\omega_1$: | |||
| $$2\omega_1=\frac{4\pi}{\tau}+\frac{2\pi}{T} \implies \omega_1=\pi\left(\frac{2}{\tau}+\frac{1}{T}\right)$$ | |||
| Вычтя второе уравнение из первого, найдем $\omega_2$: | |||
| $$2\omega_2=\frac{4\pi}{\tau}-\frac{2\pi}{T} \implies \omega_2=\pi\left(\frac{2}{\tau}-\frac{1}{T}\right)$$ | |||
| Если требуются циклические (линейные) частоты $f=\frac{\omega}{2\pi}$, то формулы принимают вид: | |||
| $$f_1=\frac{1}{\tau}+\frac{1}{2T}, \quad f_2=\frac{1}{\tau}-\frac{1}{2T}$$ | |||
| @@ -48,7 +44,3 @@Решение | |||
| #### Ответ | |||
| $$a_1=\frac{A+B}{2}, \quad a_2=\frac{A-B}{2}$$ | |||
| $$\omega_1=\pi\left(\frac{2}{\tau}+\frac{1}{T}\right), \quad \omega_2=\pi\left(\frac{2}{\tau}-\frac{1}{T}\right)$$ | |||
| − | |||
| − | #### Ответ | ||
| − | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| @@ -1,16 +1,12 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $3.4.19.$ [Вставьте условие задачи] | |||
| ### Решение | |||
| ### Условие | |||
| $3.4.19.$ На рисунке изображен график зависимости координаты от времени для движения, являющегося суммой двух гармонических колебаний. Определите по нему амплитуды и частоты этих колебаний. | $3.4.19.$ На рисунке изображен график зависимости координаты от времени для движения, являющегося суммой двух гармонических колебаний. Определите по нему амплитуды и частоты этих колебаний. | ||
|  | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| <b>1. Анализ огибающей и определение амплитуд</b> | <b>1. Анализ огибающей и определение амплитуд</b>\ | ||
| Данный график иллюстрирует классическое явление биений, возникающее при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами ($\omega_1\approx\omega_2$). Общее уравнение движения можно записать как: | Данный график иллюстрирует классическое явление биений, возникающее при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами ($\omega_1\approx\omega_2$). Общее уравнение движения можно записать как: | ||
| $$x(t)=a_1\sin(\omega_1t)+a_2\sin(\omega_2t)$$ | $$x(t)=a_1\sin(\omega_1t)+a_2\sin(\omega_2t)$$ | ||
| Исследуя график, мы можем выделить максимальную и минимальную амплитуды огибающей: | Исследуя график, мы можем выделить максимальную и минимальную амплитуды огибающей: | ||
| — <b>Максимум огибающей ($A$):</b> Возникает при конструктивной интерференции (колебания в фазе): | — <b>Максимум огибающей ($A$):</b> Возникает при конструктивной интерференции (колебания в фазе): | ||
| $$A_{\max}=a_1+a_2=A$$ | $$A_{\max}=a_1+a_2=A$$ | ||
| — <b>Минимум огибающей (узкое «горлышко» $B$):</b> Возникает при деструктивной интерференции (колебания в противофазе): | — <b>Минимум огибающей (узкое «горлышко» $B$):</b> Возникает при деструктивной интерференции (колебания в противофазе): | ||
| $$A_{\min}=|a_1-a_2|=B$$ | $$A_{\min}=|a_1-a_2|=B$$ | ||
| @@ -23,15 +19,15 @@Решение | |||
| Решая эту простую алгебраическую систему, найдем амплитуды исходных колебаний $a_1$ и $a_2$ (полагая $a_1>a_2$): | Решая эту простую алгебраическую систему, найдем амплитуды исходных колебаний $a_1$ и $a_2$ (полагая $a_1>a_2$): | ||
| $$a_1=\frac{A+B}{2}, \quad a_2=\frac{A-B}{2}$$ | $$a_1=\frac{A+B}{2}, \quad a_2=\frac{A-B}{2}$$ | ||
| <b>2. Анализ периодов и определение частот</b> | <b>2. Анализ периодов и определение частот</b>\ | ||
| Из графика мы можем определить два временных интервала: | Из графика мы можем определить два временных интервала: | ||
| — <b>Период быстрых колебаний ($\tau$):</b> Это время одного полного цикла внутреннего высокочастотного колебания (несущей частоты). Оно связано со средней частотой двух складываемых колебаний: | — <b>Период быстрых колебаний ($\tau$):</b> Это время одного полного цикла внутреннего высокочастотного колебания (несущей частоты). Оно связано со средней частотой двух складываемых колебаний: | ||
| $$\tau=\frac{2\pi}{\omega_{\text{avg}}}=\frac{4\pi}{\omega_1+\omega_2}$$ | $$\tau=\frac{2\pi}{\omega_{\text{avg}}}=\frac{4\pi}{\omega_1+\omega_2}$$ | ||
| — <b>Период биений ($T$):</b> Это интервал времени между двумя последовательными узлами (или пучностями) огибающей. Он определяется разностью частот: | — <b>Период биений ($T$):</b> Это интервал времени между двумя последовательными узлами (или пучностями) огибающей. Он определяется разностью частот: | ||
| $$T=\frac{2\pi}{\omega_{\text{beat}}}=\frac{2\pi}{|\omega_1-\omega_2|}$$ | $$T=\frac{2\pi}{\omega_{\text{beat}}}=\frac{2\pi}{|\omega_1-\omega_2|}$$ | ||
| <b>3. Изоляция $\omega_1$ и $\omega_2$</b> | <b>3. Изоляция $\omega_1$ и $\omega_2$</b>\ | ||
| Из полученных периодов мы можем составить систему для суммы и разности частот: | Из полученных периодов мы можем составить систему для суммы и разности частот: | ||
| $$\omega_1+\omega_2=\frac{4\pi}{\tau}$$ | $$\omega_1+\omega_2=\frac{4\pi}{\tau}$$ | ||
| $$\omega_1-\omega_2=\frac{2\pi}{T}$$ | $$\omega_1-\omega_2=\frac{2\pi}{T}$$ | ||
| Сложив уравнения и разделив на 2, получим $\omega_1$: | Сложив уравнения и разделив на 2, получим $\omega_1$: | ||
| $$2\omega_1=\frac{4\pi}{\tau}+\frac{2\pi}{T} \implies \omega_1=\pi\left(\frac{2}{\tau}+\frac{1}{T}\right)$$ | $$2\omega_1=\frac{4\pi}{\tau}+\frac{2\pi}{T} \implies \omega_1=\pi\left(\frac{2}{\tau}+\frac{1}{T}\right)$$ | ||
| Вычтя второе уравнение из первого, найдем $\omega_2$: | Вычтя второе уравнение из первого, найдем $\omega_2$: | ||
| $$2\omega_2=\frac{4\pi}{\tau}-\frac{2\pi}{T} \implies \omega_2=\pi\left(\frac{2}{\tau}-\frac{1}{T}\right)$$ | $$2\omega_2=\frac{4\pi}{\tau}-\frac{2\pi}{T} \implies \omega_2=\pi\left(\frac{2}{\tau}-\frac{1}{T}\right)$$ | ||
| Если требуются циклические (линейные) частоты $f=\frac{\omega}{2\pi}$, то формулы принимают вид: | Если требуются циклические (линейные) частоты $f=\frac{\omega}{2\pi}$, то формулы принимают вид: | ||
| $$f_1=\frac{1}{\tau}+\frac{1}{2T}, \quad f_2=\frac{1}{\tau}-\frac{1}{2T}$$ | $$f_1=\frac{1}{\tau}+\frac{1}{2T}, \quad f_2=\frac{1}{\tau}-\frac{1}{2T}$$ | ||
| @@ -48,7 +44,3 @@Решение | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$a_1=\frac{A+B}{2}, \quad a_2=\frac{A-B}{2}$$ | $$a_1=\frac{A+B}{2}, \quad a_2=\frac{A-B}{2}$$ | ||
| $$\omega_1=\pi\left(\frac{2}{\tau}+\frac{1}{T}\right), \quad \omega_2=\pi\left(\frac{2}{\tau}-\frac{1}{T}\right)$$ | $$\omega_1=\pi\left(\frac{2}{\tau}+\frac{1}{T}\right), \quad \omega_2=\pi\left(\frac{2}{\tau}-\frac{1}{T}\right)$$ | ||
| #### Ответ | |||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | |||