Правка разделов «Условие», «Решение», «Сцепление»

igor правка от
Посмотреть решение История
правка #20685 предыдущая #20684 ← раньше
ru/3.8.13.md +80 −3
@@ -1,11 +1,88 @@
### Условие
−$3.8.13.$ [Вставьте условие задачи]
+$3.8.13^*.$ Упругий стержень длины $l_1$, летящий со скоростью $v$, сталкивается своим торцом с торцом неподвижного стержня длины $l_2$, $l_1/c_1 > l_2/c_2$, где $c_1$ и $c_2$ — скорости звука соответственно в одном и другом стержне. Сечение стержней и плотность их материала одинаковы. Определите скорость центров масс стержней после столкновения.
+
### Решение
−123
+Задачу решим как $3.8.12$ методом рассмотрения волн сжатия и растяжения скоростей частиц $v/2$ циркулирующих в левом стержне через коэффициенты прохождения и отражения через границу сред.
+По принципу решения той задачи при падении из среды $1$ в $2$:
+
+- коэффициент прохождения волны
+
+$$
+\underset{1\to 2}{k_{\text{пр}}} = \frac{v_{\text{пр}}}{v_{\text{п}}} = \frac{2c_1}{c_1 + c_2},
+$$
+
+- коэффициент отражения волны
+
+$$
+\underset{1\to 2}{k_{\text{от}}} = \frac{v_{\text{от}}}{v_{\text{п}}} = \frac{c_1 - c_2}{c_1 + c_2}.
+$$
+
+Предположим, что стержень $2$ отсоединится, когда напряжения в нем не будет. Тогда его скорость частиц это наложение двух волн пройденных со скоростями частиц $\underset{1\to 2}{k_{\text{пр}}}\vec v/2$.
+
+В этот момент скорость стержня $2$
+
+$$
+\boxed{V_2 = \underset{1\to 2}{k_{\text{пр}}}v_1 = \frac{2c_1}{c_1 + c_2}v,}
+$$
+
+а скорость в стержне $1$ еще не установилась постоянной на всем протяжении стержня, что следует из большего времени заполнения данной волной стержня $1$.
+
+
+#### Сцепление
+
+Проверим сцепление стержней после удара, как это было сделано в Дополнении к решению задачи $3.8.12$.
+
+Методом наложения волн скорости после касания скорость частиц в зоне в близи границы у стержня $2$
+
+$$
+V_2' = \underset{1\to 2}{k_{\text{пр}}}\frac{v}{2} = \frac{2c_1}{c_1 + c_2}\frac{v}{2},
+$$
+
+скорость частиц стержня $1$ в такой зоне
+
+$$
+V_1' = \underset{1\to 2}{k_{\text{от}}}\frac{v}{2} + \frac{v}{2} = \frac{2c_1}{c_1 + c_2}\frac{v}{2}.
+$$
+
+Скорости равны, значит, стержни сцеплены после касания.
+
+
+#### Отсоединение
+
+Действительно, в момент обнуления напряжения в стержне $2$, как было отмечено, скорость его частиц в зоне у границы не равна скорости частиц в стержне $1$ у этой зоны.
+
+$$
+V_2 \neq V_1'
+$$
+
+(в этот момент скорость частиц стержня $1$ у границы, как можно показать волнами скорости остается такой же, как после касания).
+
+Далее по ЗСИ.
+
+$$
+m_1v = m_1V_1 + m_2V_2,
+$$
+
+откуда скорость центра масс первого
+
+$$
+\boxed{V_1 = v\left(1 - \frac{l_2}{l_1}\frac{2c_1}{c_1 + c_2}\right).}
+$$
+
+Проверка на частный случай двух одинаковых тел, когда одно сталкивается с неподвижным так же проходит (решение дает обмен скоростью, как в простой динамике).
+
+
+#### Литература
+
+[1] Сивухин Д.В. Общий курс физики. Механика. (Механика упругих тел.)
+
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$
+V_1 = v\left(1 - \frac{l_2}{l_1}\frac{2c_1}{c_1 + c_2}\right),\quad V_2 = \frac{2c_1}{c_1 + c_2}v_1
+$$