Правка раздела «Решение»

igor правка от 14 сент. 2026 г., 05:26

правка #20721 предыдущая #20720 ← раньше

ru/3.8.18.md +1 −1

			### Условие

			$3.8.18^*.$ На стенку (см. задачу $3.8.17$) последовательно падают одинаковые звуковые сигналы. При каком расстоянии между ними амплитуда сигнала, прошедшего сквозь стенку, будет максимальной? Определите отношение максимальной амплитуды этого сигнала к амплитуде падающего сигнала. Изменится ли это отношение, если на стенку будет падать синусоидальная волна?

		@@ -5,7 +5,7 @@Условие

			### Решение

		−	Это прямое продолжение задачи $3.8.17$. В той задаче получили, что на выходе единичный входной сигнал дает ряд равноотстоящих друг отдруга эхо-сигналов. Остается накладывать на них следующие ~~входные~~ сигналы.
		+	Это прямое продолжение задачи $3.8.17$. В той задаче получили, что на выходе единичный входной сигнал дает ряд равноотстоящих друг отдруга эхо-сигналов. Остается накладывать на них следующие ряды эхо-сигналов.

			Это получится, когда каждый следующий входной сигнал будет достигать левой границы (входная) одновременно с приходящим отраженным от правой границы сигналом внутри стены. Два отражения единичного сигнала внутри стены восстанавливают форму бегущей синусоиды как входной сигнал и очередной входной накладывается синфазно с отраженным от левой границы.

			Поэтому следовать входные должны на межсоседнем расстоянии

			$$
			L = c_1\frac{2l}{c_2}.
			$$

			Чтобы была видна последовательность сделаем полностью как в задаче $3.8.17$ через так называемые циклы. Произведения $\rho_1c_1,\rho_2c_2$ обозначаем $x_1,x_2$.

			- Цикл $0$. Особенный цикл. Волна впервые вошла в среду $2$. Начальная амплитуда $A$ в первой среде. Ее амплитуда в среде $2$ стала
			$$
			A_2^{(0)} = A\cdot\underset{1\to 2}{k_{A\text{пр}}} = A\frac{2x_1}{x_1 + x_2}.
			$$
			где $\underset{1\to 2}{k_{A\text{пр}}}$ есть коэффициент прохождения по амплитуде (задача $3.8.14$) из среды $1$ в $2$. Далее аналогично.
			- Цикл $1$. Волна проходит снова в среду $1$ двигаясь в ту же сторону:
			$$
			\boxed{A_1^{(1)} = A_2^{(0)}\cdot\underset{2\to 1}{k_{A\text{пр}}} = A\frac{4x_1x_2}{\left(x_1 + x_2\right)^2}.}
			$$
			И генерируется отраженная в том месте в обратную сторону двигающаяся с амплитудой
			$$
			A_2^{(1)} = A_2^{(0)}\cdot\underset{2\to 1}{k_{A\text{от}}} = A\frac{2x_1\left(x_2 - x_1\right)}{\left(x_1 + x_2\right)^2}.
			$$
			На левой границе опять генерируется отраженная, двигающаяся уже как изначальная и на нее накладывается очередная проходящая входная:
			$$
			A_2^{(1)}\hphantom{}'^{*}= A_2^{(1)}\cdot\underset{2\to 1}{k_{A\text{от}}} + A_2^{(0)} = A\frac{2x_1}{x_1 + x_2}\left(1 + \frac{(x_2 - x_1)^2}{(x_1 + x_2)^2}\right).
			$$

			- Цикл $2$. Сигнал с $A_2^{(1)}\hphantom{}'^{*}$ проходит в среду $1$ как в начале цикла $1$.
			$$
			\boxed{A_1^{(2)} = A_2^{(1)}\hphantom{}'^{*}\cdot\underset{2\to 1}{k_{A\text{пр}}} = A\frac{4x_1x_2}{(x_1 + x_2)^2}\left(1 + \frac{(x_2 - x_1)^2}{(x_1 + x_2)^2}\right).}
			$$
			Далее еще отражение сигнала с $A_2^{(1)}\hphantom{}'^{*}$ от правой границы, потом отражение от левой отраженного при таких же условиях и наложение очередной проходящей:
			$$
			A_2^{(2)}\hphantom{}'^{} = A_2^{(1)}\hphantom{}'^{}\cdot\left(\underset{2\to 1}{k_{A\text{от}}}\right)^2 + A_2^{(0)} = A\frac{2x_2}{x_1 + x_2}\left(1 + \frac{(x_2 - x_1)^2}{(x_1 + x_2)^2} + \frac{(x_2 - x_1)^4}{(x_1 + x_2)^4}\right)
			$$

			- Цикл $3$. Сигнал с $A_2^{(2)}\hphantom{}'^{*}$ проходит в среду $1$ как в начале обычного цикла.
			$$
			\boxed{A_1^{(3)} = A_2^{(2)}\hphantom{}'^{*}\cdot\underset{2\to 1}{k_{A\text{пр}}} = A\frac{4x_1x_2}{(x_1 + x_2)^2}\left(1 + \frac{(x_2 - x_1)^2}{(x_1 + x_2)^2} + \frac{(x_2 - x_1)^4}{(x_1 + x_2)^4}\right).}
			$$

			Смотрим на формулы в рамках и видим, что проходящая выходная амплитуда растет по убывающей геометрической прогрессии.

			На бесконечном цикле (используем формулу суммы для бесконечно убывающей прогрессии)
			$$
			A_1^{(\infty)} = A\frac{4x_1x_2}{(x_1 + x_2)^2}\frac{1}{1 - \dfrac{(x_2 - x_1)^2}{(x_1 + x_2)^2}},
			$$

			что после упрощения дает

			$$
			\boxed{A_1^{(\infty)} = A.}
			$$

			Амплитуда $A_2^{(\infty)}$ будет максимальной среди последовательных выходных, тогда отношение максимальной амплитуды из этих сигналов к амплитуде падающего сигнала равно

			$$
			\boxed{\frac{A_1^{(\infty)}}{A} = 1.}
			$$

			Синусоидальную волну можно рассматривать как непрерывное множество последовательностей сигналов с межсоседним расстоянием $L$, тогда ответ не изменится.


			#### Ответ

			$$
			L = c_1\frac{2l}{c_2}. \quad \frac{A_1^{(\infty)}}{A} = 1. \quad \text{Нет}.
			$$
		ещё строк без изменений 67