Почему при вынужденных колебаниях осциллятора с частотой, меньшей его собственной частоты, направления смещения и вынуждающей силы совпадают, а при частоте, большей собственной, противоположны?
Решение:
Совпадение или противоположность направлений смещения $x(t)$ и вынуждающей силы $F(t)$ определяется разностью фаз $\varphi$ между ними.
Уравнение установившихся вынужденных колебаний осциллятора под действием гармонической силы $F(t) = F_0 \cos(\omega t)$ имеет вид:
$$x(t) = A \cos(\omega t - \varphi)$$
Амплитуда $A$ и фазовый сдвиг $\varphi$ задаются соотношениями: \begin{align*} A &= \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2}} \operatorname{tg}\varphi &= \frac{2\gamma\omega}{\omega_0^2 - \omega^2} \end{align*} где $\omega_0$ — собственная частота, $\omega$ — частота вынуждающей силы, $\gamma$ — коэффициент затухания.
Низкие частоты ($\omega < \omega_0$)
При низких частотах и малом затухании: Знаменатель в формуле тангенса положителен: $\omega_0^2 - \omega^2 > 0 \implies \operatorname{tg}\varphi > 0$. Фазовый сдвиг находится в пределе $0 \le \varphi < \pi/2$. В пределе медленного изменения силы ($\omega \ll \omega_0$) сдвиг фаз $\varphi \to 0$.
Физический смысл: Система успевает подстраиваться под медленно меняющуюся силу. Основную роль играет упругая сила (квазиупругая сила осциллятора $k x$), которая компенсирует внешнюю силу в любой момент времени:
$$F(t) \approx k x(t) \implies x(t) \approx \frac{F(t)}{k}$$
Так как жесткость $k > 0$, вектор смещения $x(t)$ направлен в ту же сторону, что и сила $F(t)$.
Высокие частоты ($\omega > \omega_0$)
При высоких частотах: Знаменатель в формуле тангенса отрицателен: $\omega_0^2 - \omega^2 < 0 \implies \operatorname{tg}\varphi < 0$. Сдвиг фаз лежит в интервале $\pi/2 < \varphi \le \pi$. В пределе быстро меняющейся силы ($\omega \gg \omega_0$) сдвиг фаз $\varphi \to \pi$.
Физический смысл: При высоких частотах определяющую роль начинает играть инерция тела (масса $m$). Из второго закона Ньютона при $\omega \gg \omega_0$ упругой силой и трением можно пренебречь по сравнению с ускорением: \begin{align*} m a(t) \approx F(t) &\implies -m \omega^2 x(t) \approx F(t) &\implies x(t) \approx -\frac{F(t)}{m\omega^2} \end{align*}
Из-за инерции ускорение $a(t) = -\omega^2 x(t)$ оказывается сонаправлено с силой $F(t)$, а значит, само смещение $x(t)$ оказывается направлено противоположно внешней силе (соответствует сдвигу фаз $\varphi = \pi$).
Ответ:
При $\omega < \omega_0$ преобладает квазиупругая сила, смещение совпадает по фазе с силой ($\varphi \to 0$). При $\omega > \omega_0$ определяющей является инерция массы, смещение и сила противофазны ($\varphi \to \pi$).