Правка
ru/3.5.30.md
+8 −11
| @@ -1,4 +1,3 @@ | |||
| − | |||
| Условие: | |||
| Почему при вынужденных колебаниях осциллятора с частотой, меньшей его собственной частоты, направления смещения и вынуждающей силы совпадают, а при частоте, большей собственной, противоположны? | |||
| Решение: | |||
| @@ -8,13 +7,13 @@ | |||
| Совпадение или противоположность направлений смещения $x(t)$ и вынуждающей силы $F(t)$ определяется разностью фаз $\varphi$ между ними. | |||
| Уравнение установившихся вынужденных колебаний осциллятора под действием гармонической силы $F(t) = F_0 \cos(\omega t)$ имеет вид: | |||
| + | \[ | ||
| + | x(t) = A \cos(\omega t - \varphi) | ||
| + | \] | ||
| − | |||
| − | $$x(t) = A \cos(\omega t - \varphi)$$ | ||
| − | |||
| Амплитуда $A$ и фазовый сдвиг $\varphi$ задаются соотношениями: | |||
| \begin{align*} | |||
| − | A &= \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2}} \ | ||
| + | A &= \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2}} \\ | ||
| \operatorname{tg}\varphi &= \frac{2\gamma\omega}{\omega_0^2 - \omega^2} | |||
| \end{align*} | |||
| где $\omega_0$ — собственная частота, $\omega$ — частота вынуждающей силы, $\gamma$ — коэффициент затухания. | |||
| 1. Низкие частоты ($\omega < \omega_0$) | |||
| При низких частотах и малом затухании: | |||
| Знаменатель в формуле тангенса положителен: $\omega_0^2 - \omega^2 > 0 \implies \operatorname{tg}\varphi > 0$. | |||
| Фазовый сдвиг находится в пределе $0 \le \varphi < \pi/2$. | |||
| @@ -27,11 +26,9 @@ | |||
| В пределе медленного изменения силы ($\omega \ll \omega_0$) сдвиг фаз $\varphi \to 0$. | |||
| Физический смысл: Система успевает подстраиваться под медленно меняющуюся силу. Основную роль играет упругая сила (квазиупругая сила осциллятора $k x$), которая компенсирует внешнюю силу в любой момент времени: | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| + | \[ | ||
| + | F(t) \approx k x(t) \implies x(t) \approx \frac{F(t)}{k} | ||
| + | \] | ||
| Так как жесткость $k > 0$, вектор смещения $x(t)$ направлен в ту же сторону, что и сила $F(t)$. | |||
| 2. Высокие частоты ($\omega > \omega_0$) | |||
| При высоких частотах: | |||
| Знаменатель в формуле тангенса отрицателен: $\omega_0^2 - \omega^2 < 0 \implies \operatorname{tg}\varphi < 0$. | |||
| Сдвиг фаз лежит в интервале $\pi/2 < \varphi \le \pi$. | |||
| В пределе быстро меняющейся силы ($\omega \gg \omega_0$) сдвиг фаз $\varphi \to \pi$. | |||
| @@ -43,7 +40,7 @@ | |||
| Физический смысл: При высоких частотах определяющую роль начинает играть инерция тела (масса $m$). Из второго закона Ньютона при $\omega \gg \omega_0$ упругой силой и трением можно пренебречь по сравнению с ускорением: | |||
| \begin{align*} | |||
| − | m a(t) \approx F(t) &\implies -m \omega^2 x(t) \approx F(t) \ | ||
| + | m a(t) \approx F(t) &\implies -m \omega^2 x(t) \approx F(t) \\ | ||
| &\implies x(t) \approx -\frac{F(t)}{m\omega^2} | |||
| \end{align*} | |||
| Из-за инерции ускорение $a(t) = -\omega^2 x(t)$ оказывается сонаправлено с силой $F(t)$, а значит, само смещение $x(t)$ оказывается направлено противоположно внешней силе (соответствует сдвигу фаз $\varphi = \pi$). | |||
| Ответ: | |||
| При $\omega < \omega_0$ преобладает квазиупругая сила, смещение совпадает по фазе с силой ($\varphi \to 0$). При $\omega > \omega_0$ определяющей является инерция массы, смещение и сила противофазны ($\varphi \to \pi$). | |||
| ещё строк без изменений 5 | |||
| @@ -1,4 +1,3 @@ | |||
| Условие: | Условие: | ||
| Почему при вынужденных колебаниях осциллятора с частотой, меньшей его собственной частоты, направления смещения и вынуждающей силы совпадают, а при частоте, большей собственной, противоположны? | Почему при вынужденных колебаниях осциллятора с частотой, меньшей его собственной частоты, направления смещения и вынуждающей силы совпадают, а при частоте, большей собственной, противоположны? | ||
| Решение: | Решение: | ||
| @@ -8,13 +7,13 @@ | |||
| Совпадение или противоположность направлений смещения $x(t)$ и вынуждающей силы $F(t)$ определяется разностью фаз $\varphi$ между ними. | Совпадение или противоположность направлений смещения $x(t)$ и вынуждающей силы $F(t)$ определяется разностью фаз $\varphi$ между ними. | ||
| Уравнение установившихся вынужденных колебаний осциллятора под действием гармонической силы $F(t) = F_0 \cos(\omega t)$ имеет вид: | Уравнение установившихся вынужденных колебаний осциллятора под действием гармонической силы $F(t) = F_0 \cos(\omega t)$ имеет вид: | ||
| \[ | |||
| x(t) = A \cos(\omega t - \varphi) | |||
| \] | |||
| $$x(t) = A \cos(\omega t - \varphi)$$ | |||
| Амплитуда $A$ и фазовый сдвиг $\varphi$ задаются соотношениями: | Амплитуда $A$ и фазовый сдвиг $\varphi$ задаются соотношениями: | ||
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| A &= \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2}} \ | A &= \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2}} \\ | ||
| \operatorname{tg}\varphi &= \frac{2\gamma\omega}{\omega_0^2 - \omega^2} | \operatorname{tg}\varphi &= \frac{2\gamma\omega}{\omega_0^2 - \omega^2} | ||
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| где $\omega_0$ — собственная частота, $\omega$ — частота вынуждающей силы, $\gamma$ — коэффициент затухания. | где $\omega_0$ — собственная частота, $\omega$ — частота вынуждающей силы, $\gamma$ — коэффициент затухания. | ||
| 1. Низкие частоты ($\omega < \omega_0$) | 1. Низкие частоты ($\omega < \omega_0$) | ||
| При низких частотах и малом затухании: | При низких частотах и малом затухании: | ||
| Знаменатель в формуле тангенса положителен: $\omega_0^2 - \omega^2 > 0 \implies \operatorname{tg}\varphi > 0$. | Знаменатель в формуле тангенса положителен: $\omega_0^2 - \omega^2 > 0 \implies \operatorname{tg}\varphi > 0$. | ||
| Фазовый сдвиг находится в пределе $0 \le \varphi < \pi/2$. | Фазовый сдвиг находится в пределе $0 \le \varphi < \pi/2$. | ||
| @@ -27,11 +26,9 @@ | |||
| В пределе медленного изменения силы ($\omega \ll \omega_0$) сдвиг фаз $\varphi \to 0$. | В пределе медленного изменения силы ($\omega \ll \omega_0$) сдвиг фаз $\varphi \to 0$. | ||
| Физический смысл: Система успевает подстраиваться под медленно меняющуюся силу. Основную роль играет упругая сила (квазиупругая сила осциллятора $k x$), которая компенсирует внешнюю силу в любой момент времени: | Физический смысл: Система успевает подстраиваться под медленно меняющуюся силу. Основную роль играет упругая сила (квазиупругая сила осциллятора $k x$), которая компенсирует внешнюю силу в любой момент времени: | ||
| \[ | |||
| F(t) \approx k x(t) \implies x(t) \approx \frac{F(t)}{k} | |||
| \] | |||
| Так как жесткость $k > 0$, вектор смещения $x(t)$ направлен в ту же сторону, что и сила $F(t)$. | Так как жесткость $k > 0$, вектор смещения $x(t)$ направлен в ту же сторону, что и сила $F(t)$. | ||
| 2. Высокие частоты ($\omega > \omega_0$) | 2. Высокие частоты ($\omega > \omega_0$) | ||
| При высоких частотах: | При высоких частотах: | ||
| Знаменатель в формуле тангенса отрицателен: $\omega_0^2 - \omega^2 < 0 \implies \operatorname{tg}\varphi < 0$. | Знаменатель в формуле тангенса отрицателен: $\omega_0^2 - \omega^2 < 0 \implies \operatorname{tg}\varphi < 0$. | ||
| Сдвиг фаз лежит в интервале $\pi/2 < \varphi \le \pi$. | Сдвиг фаз лежит в интервале $\pi/2 < \varphi \le \pi$. | ||
| В пределе быстро меняющейся силы ($\omega \gg \omega_0$) сдвиг фаз $\varphi \to \pi$. | В пределе быстро меняющейся силы ($\omega \gg \omega_0$) сдвиг фаз $\varphi \to \pi$. | ||
| @@ -43,7 +40,7 @@ | |||
| Физический смысл: При высоких частотах определяющую роль начинает играть инерция тела (масса $m$). Из второго закона Ньютона при $\omega \gg \omega_0$ упругой силой и трением можно пренебречь по сравнению с ускорением: | Физический смысл: При высоких частотах определяющую роль начинает играть инерция тела (масса $m$). Из второго закона Ньютона при $\omega \gg \omega_0$ упругой силой и трением можно пренебречь по сравнению с ускорением: | ||
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| m a(t) \approx F(t) &\implies -m \omega^2 x(t) \approx F(t) \ | m a(t) \approx F(t) &\implies -m \omega^2 x(t) \approx F(t) \\ | ||
| &\implies x(t) \approx -\frac{F(t)}{m\omega^2} | &\implies x(t) \approx -\frac{F(t)}{m\omega^2} | ||
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| Из-за инерции ускорение $a(t) = -\omega^2 x(t)$ оказывается сонаправлено с силой $F(t)$, а значит, само смещение $x(t)$ оказывается направлено противоположно внешней силе (соответствует сдвигу фаз $\varphi = \pi$). | Из-за инерции ускорение $a(t) = -\omega^2 x(t)$ оказывается сонаправлено с силой $F(t)$, а значит, само смещение $x(t)$ оказывается направлено противоположно внешней силе (соответствует сдвигу фаз $\varphi = \pi$). | ||
| Ответ: | Ответ: | ||
| При $\omega < \omega_0$ преобладает квазиупругая сила, смещение совпадает по фазе с силой ($\varphi \to 0$). При $\omega > \omega_0$ определяющей является инерция массы, смещение и сила противофазны ($\varphi \to \pi$). | При $\omega < \omega_0$ преобладает квазиупругая сила, смещение совпадает по фазе с силой ($\varphi \to 0$). При $\omega > \omega_0$ определяющей является инерция массы, смещение и сила противофазны ($\varphi \to \pi$). | ||
| ещё строк без изменений 5 | |||